LA@2@1@线性方程组和简单矩阵方程有解判定定理

文章目录

- 矩阵方程有解判定定理
- - 线性方程组有解判定
  - 特化:齐次线性方程组有解判定
  - [推广:矩阵方程 A X = B AX=B AX=B有解判定](#推广:矩阵方程 A X = B AX=B AX=B有解判定)
  - - 证明
    - 推论

矩阵方程有解判定定理

线性方程组有解判定

线性方程组 A x = b A\bold{x}=\bold{b} Ax=b有解的 充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵 ( A , b ) (A,\bold{b}) (A,b)具有相同的秩 R ( A ) = R ( A , b ) R(A)=R(A,\bold{b}) R(A)=R(A,b),记 r = R ( A ) = R ( A , b ) r=R(A)=R(A,\bold{b}) r=R(A)=R(A,b):
- 若 r = n r=n r=n有方程组有唯一解
- 若 r < n r<{n} r<n方程组有多解
对于非齐次线性方程,需要计算 R ( A ) , R ( A , b ) R(A),R(A,\bold{b}) R(A),R(A,b)
对于齐次线性方程只需要计算 R ( A ) R(A) R(A)

特化:齐次线性方程组有解判定

这是线性方程组有解的特例,可以将定理进一步简化
齐次线性方程组 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0齐次方程组的情况可以理解为 b \bold{b} b中元素全为0
容易知道 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0总有 R ( A ) = R ( A ‾ ) = r R(A)=R(\overline{A})=r R(A)=R(A)=r,因此齐次线性方程组总是有解;
- 我们只需要计算系数矩阵 A A A的秩 R ( A ) R(A) R(A)即可得到 r r r
- 若 r = n r=n r=n则方程组有唯一解,并且是零解
- 若 r < n r<n r<n方程组有非零解
齐次线性方程组有解判定定理:齐次线性方程组 A x = 0 A\bold{x}=\bold{0} Ax=0有解的充要条件是 R ( A ) ⩽ n R(A)\leqslant{n} R(A)⩽n;
- 有零解(唯一解)的充要条件是 R ( A ) = n R(A)=n R(A)=n
- 有非零解(多解)的充要条件是 R ( A ) < n R(A)<n R(A)<n;

推广:矩阵方程 A X = B AX=B AX=B有解判定

这里 B B B是常数项矩阵(不再是系数矩阵的增广矩阵)
定理:矩阵方程 A X = B AX=B AX=B有解的充要条件是 R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)
- 注意这里 X , B X,B X,B不一定是向量,可能是多行多列的矩阵
- 参考同济线代v6@p76@定理6

证明

设 A , X , B A,X,B A,X,B分别为 m × n m\times{n} m×n, n × l n\times{l} n×l, m × l m\times{l} m×l的矩阵
对X和B按列分块:
- X X X= ( x 1 , x 2 , ⋯ x l ) (\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l) (x1,x2,⋯xl),
- B B B= ( b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (b1,b2,⋯bl)
矩阵方程 A X = B AX=B AX=B等价于 l l l个向量方程(线性方程组)
A X = A ( x 1 , x 2 , ⋯ x l ) AX=A(\bold{x}_1,\bold{x}_2,\cdots \bold{x}_l) AX=A(x1,x2,⋯xl)= ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl)
所有 A X = B AX=B AX=B等价于 ( A x 1 , A x 2 , ⋯ A x l ) (A\bold{x}_1,A\bold{x}_2,\cdots A\bold{x}_l) (Ax1,Ax2,⋯Axl)= ( b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (b1,b2,⋯bl)
- 又等价于 A x i = b i ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) A\bold{x}_i=\bold{b}_i(i=1,2,\cdots,l) Axi=bi(i=1,2,⋯,l)共 l l l个线性方程组
- 这些线性方程的共同点是有相同的系数矩阵 A A A,这意味着这 l l l个线性方程组以及原矩阵方程的系数矩阵的秩都是相等的,这个结论很重要
- 而位置数矩阵和常数项矩阵又是相对独立的
设 R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r,且 A A A的行阶梯形 矩阵为 A ~ \widetilde{A} A ,则 A ~ \widetilde{A} A 有 r r r个非零行,且 A ~ \widetilde{A} A 的后 m − r m-r m−r行为全零行
( A , B ) (A,B) (A,B)= ( A , b 1 , b 2 , ⋯ b l ) (A,\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l) (A,b1,b2,⋯bl) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l})} (A ,b1 ,⋯,bl )
- 其中 A ~ \widetilde{A} A 是 A A A的行阶梯形矩阵
- 而向量 b 1 ~ , ⋯ , b l ~ \widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l} b1 ,⋯,bl 是 b 1 , b 2 , ⋯ b l \bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots \bold{b}_l b1,b2,⋯bl与 A ∼ r A ~ A\overset{r}{\sim}\widetilde{A} A∼rA 执行相同的行变换后的结果,即 b i ~ \widetilde{\bold{b}_i} bi 并不表示某个行阶梯形矩阵
将等价的第 i i i个线性方程组的增广矩阵初等行变换为行阶梯形矩阵: ( A , b i ) (A,\bold{b}_i) (A,bi) ∼ r \overset{r}{\sim} ∼r ( A ~ , b i ~ ) {(\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_i})} (A ,bi ), ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)
A X = B AX=B AX=B有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ A x i = b i {A\bold{x}_i=\bold{b}_i} Axi=bi ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)有解
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( A , b i ) {R(A,\bold{b}_i)} R(A,bi)= R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r, ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ b i ~ {\widetilde{\bold{b}_i}} bi 的后 m − r m-r m−r个分量(元)全为0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , l ) (i=1,2,\cdots,l) (i=1,2,⋯,l)
  - 因为,若后 m − r m-r m−r个元中存在非零元,会导致 R ( A , b i ) > R ( A ) R(A,\bold{b}_i)>R(A) R(A,bi)>R(A),导致 A x i = b i {A\bold{x}_i=\bold{b}_i} Axi=bi无解
  - 而其前 r r r个元的取值情况不会影响 R ( A , b i ) {R(A,\bold{b}_i)} R(A,bi)= R ( A ) R(A) R(A)的成立,我们不关心
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 矩阵 ( b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) (\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}) (b1 ,⋯,bl )的后 m − r m-r m−r行全为0;
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 行阶梯形矩阵 D ~ \widetilde{D} D = ( A ~ , b 1 ~ , ⋯ , b l ~ ) (\widetilde{A},\widetilde{\bold{b}_1},\cdots,\widetilde{\bold{b}_l}) (A ,b1 ,⋯,bl )的后 m − r m-r m−r行全为0
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( D ~ ) ⩽ m − ( m − r ) = r R(\widetilde{D})\leqslant{m-(m-r)=r} R(D )⩽m−(m−r)=r,又因为 D ~ \widetilde{D} D 包含了 A ~ \widetilde{A} A ,所以 R ( A ~ ) = r ⩽ R ( D ~ ) R(\widetilde{A})=r\leqslant{R(\widetilde{D})} R(A )=r⩽R(D )
- ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R ( D ~ ) = r R(\widetilde{D})=r R(D )=r
- ⇔ R ( A , B ) = R ( A ) \Leftrightarrow{R(A,B)=R(A)} ⇔R(A,B)=R(A)
因此,如果 A X = B AX=B AX=B有解,则 R ( A , B ) = R ( A ) R(A,B)=R(A) R(A,B)=R(A)

推论

若 A X = B AX=B AX=B有解,则 R ( B ) ⩽ R ( A , B ) = R ( A ) R(B)\leqslant{R(A,B)}=R(A) R(B)⩽R(A,B)=R(A),所以 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(B)\leqslant{R(A)} R(B)⩽R(A),即常数项矩阵的秩小于系数矩阵的秩
对 A X = B AX=B AX=B两边同时取转置运算,有 X T A T = B T X^TA^T=B^T XTAT=BT,同理有 R ( B T ) ⩽ R ( X T ) R(B^T)\leqslant R(X^T) R(BT)⩽R(XT),即 R ( B ) ⩽ R ( X ) R(B)\leqslant{R(X)} R(B)⩽R(X)
综上, R ( B ) ⩽ min ⁡ ( R ( A ) , R ( X ) ) R(B)\leqslant{\min(R(A),R(X))} R(B)⩽min(R(A),R(X))