数据结构入门指南：二叉树

清水加冰2023-08-16 18:55

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文章目录

前言

[1. 树的概念及结构](#1. 树的概念及结构)

[1.1 树的概念](#1.1 树的概念)

[1.2 树的基础概念](#1.2 树的基础概念)

[1.3 树的表示](#1.3 树的表示)

[1.4 树的应用](#1.4 树的应用)

[2. 二叉树](#2. 二叉树)

[2.1 二叉树的概念](#2.1 二叉树的概念)

[2.2 二叉树的遍历](#2.2 二叉树的遍历)

前言

在计算机科学中，数据结构是解决问题的关键。而二叉树作为最基本、最常用的数据结构之一，不仅在算法和数据处理中发挥着重要作用，也在日常生活中有着丰富的应用。无论是搜索引擎的索引算法、文件系统的组织方式，还是编译器的语法分析，二叉树都扮演着不可或缺的角色。为了便于大家更好的入门二叉树，本期先向大家简单介绍一下二叉树的基本性质，以及代码理解实现，给大家预预热。

1. 树的概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
  • 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 因此，树是递归定义的。

那这样是树还是非树？

答案是非树，树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2 树的基础概念

  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
  • 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
  • *非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
  • *节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • *树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
  • *堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
  • *节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
  • *子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
  • *森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

带星号的了解即可。

这里我们重点说一下树的高度和节点层次，不同的数据结构书中一般有两种方式表示树的高度，一种是从0开始例如上述的树，根节点A高度就是0，到P、Q高度就是3。另外一种是从1开始，根节点1的高度为1，那P、Q的高度就是4。个人更推荐使用从1开始的，如果使用从0开始的，那如果是空树，在使用0表示就有点说不过去了，那空树的高度就只能是-1了。如果使用从1开始的，那空树就可以使用0来表示。

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

首先在定义树的节点时就很为难，一个节点到底要定义多少个指向子节点的指针：

cpp 复制代码 
struct TreeNode
{
	Datatype x;
	struct TreeNode* child1;
	struct TreeNode* child2;

	......

};

要想定义一个节点就要先知道一个树的度，例如上述的树：

这棵树的度为6，那我们定义时就要定义6个指针变量吗？那大部分的节点的子节点并没有达到6个，这样就会很浪费，定义也很费劲。

在C++中，有这样一种定义方法：

cpp 复制代码 
struct TreeNode
{
	Datatype x;
	vector<struct TreeNode*> childs;
};

可以不规定个数，它使用数组的方式来存储，如果不够还可以进行增容，这种方式是使用顺序表来存储孩子节点的信息。

还有一种非常巧的方式，叫孩子兄弟表示法，即左孩子右兄弟。

拿这棵树为例，这种方法在定义节点时就只定义两个指针，一个指针叫左孩子指针，一个指针叫右兄弟指针。怎么指向呢？就是说无论一个节点有多少个孩子，它的孩子指针就只指向第一个孩子（最左边的孩子节点），剩下的孩子用第一个孩子的兄弟指针指向第二个，第二个孩子的兄弟指针指向第三个。

表示出来就是这样的结构：

除此之外还有其他的表示法，这里就不再一一列举。

1.4 树的应用

在现实生活中我们也经常使用到树状结构，例如：文件存储

2. 二叉树

了解完树的基本概念后，我们接下来进入二叉树的学习。

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任何一颗二叉树都是由一下几种情况复合而成。

当然关于二叉树的基础概念还有很多，今天就先简单介绍，接下来给大家来点干货，先让大家切身体验一下二叉树。

2.2 二叉树的遍历

当我们看到任何一颗二叉树都应该把它分为三个部分：

  • 根节点
  • 左子树
  • 右子树

我们以这棵树为例进行分析：

A为这棵树的根节点，B及其以下的节点（D、E）被称为左子树，C及其以下节点被称为右子树。然后B子树仍然可以分为D及其以下节点是左子树，E及其以下节点是右子树，然后再分，直到子节点为NULL，停止。

我们这里用的是分治算法。分治算法：

把大问题分成类似的子问题，子问题再分成子问题，......，直到子问题无法再分割为止。

遍历可分为三种：

前序：也叫先根遍历，遍历顺序为：根、左子树、右子树

中序：也叫中根遍历，遍历顺序为：左子树、根、右子树

后序：也叫后根遍历，遍历顺序为：左子树、右子树、根

我们先来尝试以下前序遍历，理解了前序遍历后两个就简单了。还是以这棵树为例：

前序遍历，我们是先访问根，然后是左子树、右子树。那应该先遍历A，然后遍历A的左子树B（及其以下节点），然后就以B为根继续遍历它的左子树D（及其以下节点），然后再次以D为根开始，遍历左子树（NULL），然后开始返回到D，D再遍历右子树（NULL），然后D（这个子树）就遍历完毕，返回到B，B开始遍历右子树E（及其以下节点），E左子树为NULL返回到E，然后遍历右子树，右子树也为空（E子树遍历完毕），然后返回E（B的右子树遍历完毕），接着返回B（B的所有子树遍历完毕），接着返回到A，A开始遍历右子树......这个规律很符合递归。

遍历完的顺序为：A、B、D、NULL、NULL、E、NULL、NULL、C、NULL、NULL。大部分学校讲的都是A、B、D、E、C。大部分同学应该都知道这个规律，但不知道为什么这样遍历。

根据这个思路我们再来写一下中序遍历，中序遍历先访问左子树，然后是跟，最后是右子树。还是从A开始找，A的左子树B，然后以B为根，找B的左子树，接着以D为根，找D的左子树，D的左子树为NULL（D左子树遍历结束），返回到D（根），开始遍历D的右子树......

最后遍历的顺序为：【++NULL、D、NULL++ (B的左子树）、B(根)、++NULL、E、NULL++ (B的右子树）、】(A的左子树）、A(根）、【NULL、C、NULL】(A的右子树）。整理一下：

NULL、D、NULL、B、NULL、E、NULL、A、NULL、C、NULL（D、B、E、C、A）。

我们接着写一下后序遍历：NULL、NULL、D、NULL、NULL、E、B、NULL、NULL、C、A（D、E、B、C、A）。

我们再来练一个：

前序遍历：A（根）||这部分为整体二叉树的根、B（左子树）、NULL（B的左子树）、D（B的右子树）、F（D的左子树）、NULL（F的左子树）、NULL（F的右子树）、NULL（D的右子树）||这部分属于A的左子树、C、E、NULL（E的左子树）、NULL（E的右子树）、NULL（C的右子树）||这部分为A的右子树。

后续的中序遍历和后续遍历大家可以自己私下练一下。

好了我们已经了解了遍历，接下来我们来说实现以下前序遍历。给大家来点干货，便于大家更好理解。

我们依然以这个简单的二叉树为例进行实现。

我们先定义一个二叉树的节点：

cpp 复制代码 
typedef char Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

然后就是它的前序遍历的实现：

cpp 复制代码 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	
}

我们知道前序遍历的顺序是根，然后是左子树，最后是右子树。因此在开始前我们先判断以下root是否为NULL，如果不为NULL我们就打印根节点的数据。

cpp 复制代码 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	
}

那如何遍历到左子树、右子树呢？其实很简单，我们之前介绍的时候说：二叉树的遍历复合递归结构，这里我们就可以使用递归来完成遍历，代码如下：

cpp 复制代码 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

先遍历左子树，再遍历右子树，那调用的顺序就先调用自己传左孩子指针过去，以左孩子节点为根，再按照这个程序进行执行，再次传左孩子指针过去......，知道左孩子为NULL，返回上一层，开始遍历右子树。

我们可以简单粗暴的测试以下，测试代码如下：

cpp 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef char Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	PrevOrder(A);
	printf("\n");
	return 0;
}

执行结果：

和上述分析的结果一致。

那剩下的中序遍历和后序遍历也很简单，只需要改变一下递归调用函数的次序即可：

cpp 复制代码 
//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

//后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
	
}

我们也可以测试以下看看执行结果，测试代码如下：

cpp 复制代码 
typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
	
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	printf("前序遍历：");
	PrevOrder(A);
	printf("\n");

	printf("中序遍历：");
	InOrder(A);
	printf("\n");

	printf("后序遍历：");
	PostOrder(A);
	printf("\n");
	return 0;
}

执行结果如下：

可以和上边的分析对比一下，没有问题，

总结

二叉树遍历是学习和理解二叉树的重要部分。通过遍历，我们可以按照特定的顺序访问二叉树的节点，从而深入了解它们的结构和关系。在这篇博客中，我们介绍了三种常见的二叉树遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历，并对它们的原理、特点和应用进行了详细讨论。本期内容为预热阶段，先让大家熟悉一下二叉树，以便于后续二叉树的学习，好的本期内容到此结束，感谢阅读！

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