Impagliazzo five-worlds

参考文献：

1. Impagliazzo R. A personal view of average-case complexity[C]//Proceedings of Structure in Complexity Theory. Tenth Annual IEEE Conference. IEEE, 1995: 134-147.

文章目录

• 五个世界
• • Algorithmica
  • Heuristica
  • Pessiland
  • Minicrypt
  • Cryptomania

五个世界

在复杂性理论上，我们的世界可能是（目前没有办法排除掉的）下面的五个世界之一。

Algorithmica

这个世界中， N P = P NP=P NP=P 或者 N P ⊆ B P P NP \subseteq BPP NP⊆BPP。

此时密码学不存在了，为了进行身份鉴别，只能使用物理测量或者量子效应。当然所有的最优化问题都存在多项式解法，因此我们的世界虽然没有了秘密（大悲），但是有了更高的效率（大喜）。

Heuristica

这个世界中， N P NP NP 问题在任意的可采样分布下，平均情况下容易求解，而最坏情况下难以求解。

虽然存在困难实例，但是同时如何找出一个困难的问题实例，这本身是一个困难问题。所以，我们的密码学用户可能花费时间 T T T 找到一个困难实例，但是敌手却只花费 2 T 2T 2T 时间就可以打破这个困难实例，因此密码学将毫无用武之地。不过，大多数的问题实例（均匀采样）都存在快速算法，除了特地构造的（最坏情况下）实例。

Pessiland

这个世界中，存在平均情况下困难的问题，但是不存在单向函数。

确切地说，对于 N P NP NP 问题随机采样可以得到困难实例，但是如果我们先随机采样解 x x x，然后计算实例 f ( x ) f(x) f(x)，则它容易求逆 x ′ x' x′。这似乎是最坏的世界了，既不存在高效算法，又不存在密码学（未来一片惨淡）。

Minicrypt

这个世界中，单向函数存在（必然 N P ≠ P NP \neq P NP=P 且平均情况下的实例困难），但是公钥算法不存在。

于是基于 OWF 的密码学组件，包括 Sign 和 SS 在内，都是可以存在的。但是通过公开信道与陌生人共享秘密（例如对称私钥）将成为不可能，我们似乎得回到邮递保险柜钥匙的时代。

Cryptomania

这个世界中，存在公钥算法（自然存在 OWF）。

这个世界似乎最接近我们的真实世界（作为密码学专业的学生，我们还是愿意相信存在公钥算法的），但是我们目前没有证明，我们的世界不排除是另外的四种世界。