线性空间、子空间、基、基坐标、过渡矩阵

线性空间的定义

满足加法和数乘封闭。也就是该空间的所有向量都满足 乘一个常数后或者和其它向量相加后仍然在这个空间里。进一步可以理解为该空间中的所有向量满足加法和数乘的组合封闭。即若 V 是一个线性空间,则首先需满足:

注:线性空间里面的元素称为向量

线性空间证明

  • 若要证明 V 是数域 P 上的线性空间(表示为V(P)),必须验证 V 对于向量的加法与数乘运算封闭,且满足8条性质;
  • 若要说明 V 不是数域 P上的线性空间,则只需说明 V 对于向量的加法与数乘运算其中之一不封闭,或者运算不满足8条中的某一条即可。

例题:

证明:定理1.1 线性空间有唯一的零元素,任一元素也有唯一的负元素.
注:零元素不一定都是0.

常见的线性空间

比如 就是一个线性空间,图形表示就是一个平面直角坐标系。任取向量 做线性组合,+=

{0 } (向量0 )也是一个线性空间,并且是最简单的线性空间,很容易验证0满足加法数乘封闭和8条运算规则虽然很容易就列出了两个线性空间,但并不是所有空间都是线性空间.

非线性空间

线性子空间

定义:设是数域 K 上的线性空间V的一 个非空子集合,且对已有的线性运算满足 :

(1)如果,则

(2)如果,则
注:(1)(2)表示的是加法和数乘封闭原则。

则称为V的线性子空间或子空间。

如果 (表示空集) ,称为平凡子空间;否则称为非平凡子空间。

例如:

例题:

中,求 在基(I):

下的坐标。

由:

解出:

从而A在基(I)下的坐标为:

基变换与坐标变换

坐标变换公式为式1.1.8

例题:

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