线性空间的定义
满足加法和数乘封闭。也就是该空间的所有向量都满足 乘一个常数后或者和其它向量相加后仍然在这个空间里。进一步可以理解为该空间中的所有向量满足加法和数乘的组合封闭。即若 V 是一个线性空间，则首先需满足：
注：线性空间里面的元素称为向量
线性空间证明
- 若要证明 V 是数域 P 上的线性空间（表示为V(P))，必须验证 V 对于向量的加法与数乘运算封闭，且满足8条性质；
- 若要说明 V 不是数域 P上的线性空间，则只需说明 V 对于向量的加法与数乘运算其中之一不封闭，或者运算不满足8条中的某一条即可。
例题：
证明：定理1.1 线性空间Ｖ有唯一的零元素，任一元素也有唯一的负元素.
注：零元素不一定都是0.
常见的线性空间
比如 
就是一个线性空间，图形表示就是一个平面直角坐标系。任取向量 
和
做线性组合，
+
=
{0 } （向量0 ）也是一个线性空间，并且是最简单的线性空间，很容易验证0满足加法数乘封闭和8条运算规则虽然很容易就列出了两个线性空间，但并不是所有空间都是线性空间.
非线性空间
线性子空间
定义：设
是数域 K 上的线性空间Ｖ的一 个非空子集合，且对已有的线性运算满足 ：
（１）如果
，则
。
（２）如果
，则
。
注：(1)(2)表示的是加法和数乘封闭原则。
则称
为Ｖ的线性子空间或子空间。
如果 
(
表示空集) ，
称为平凡子空间；否则称为非平凡子空间。
例如：
基
例题：
在
中，求 
在基（I）：
下的坐标。
由：
解出：
从而A在基（I）下的坐标为：
基变换与坐标变换
坐标变换公式为式1.1.8
例题：
