本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。
为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。
由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。
给你一个整数数组 ranks ，表示一些机械工的 能力值 。ranksi 是第 i 位机械工的能力值。能力值为 r 的机械工可以在 r * n^2 分钟内修好 n 辆车。
同时给你一个整数 cars ，表示总共需要修理的汽车数目。
请你返回修理所有汽车 最少 需要多少时间。
注意： 所有机械工可以同时修理汽车。
示例 1：
js
输入：ranks = [4,2,3,1], cars = 10
输出：16
解释：
- 第一位机械工修 2 辆车，需要 4 * 2 * 2 = 16 分钟。
- 第二位机械工修 2 辆车，需要 2 * 2 * 2 = 8 分钟。
- 第三位机械工修 2 辆车，需要 3 * 2 * 2 = 12 分钟。
- 第四位机械工修 4 辆车，需要 1 * 4 * 4 = 16 分钟。
16 分钟是修理完所有车需要的最少时间。示例 2：
js
输入：ranks = [5,1,8], cars = 6
输出：16
解释：
- 第一位机械工修 1 辆车，需要 5 * 1 * 1 = 5 分钟。
- 第二位机械工修 4 辆车，需要 1 * 4 * 4 = 16 分钟。
- 第三位机械工修 1 辆车，需要 8 * 1 * 1 = 8 分钟。
16 分钟时修理完所有车需要的最少时间。提示：
1 <= ranks.length <= 10^51 <= ranks[i] <= 1001 <= cars <= 10^6
解法 二分+优化
注意，能力值越低，修车越快。（按照英文描述， r a n k s i ranks_i ranksi 应该翻译成「排名」，排名越靠前，修车越快）。
如果已知修车的时间 t t t，我们可以算出每个人在 t t t 分钟内能修好多少辆车。例如一个能力值 r = 3 r=3 r=3 的人可以在 t = 16 t=16 t=16 分钟内修好 2 2 2 辆车，但无法修好 3 3 3 辆车。
根据题意，需要满足
r n 2 ≤ t rn^2 \le t rn2≤t解得
n ≤ t r n\le \sqrt {\dfrac{t}{r}} n≤rt
所以能力值为 r r r 的机械工最多可以修
⌊ t r ⌋ \left\lfloor\sqrt {\dfrac{t}{r}}\right\rfloor ⌊rt ⌋
辆车。
累加每个人在 t t t 分钟内能修的车的个数，如果
∑ i = 0 i = n − 1 ⌊ t ranks i ⌋ ≥ cars \sum_{i=0}^{i=n-1} \left\lfloor\sqrt {\dfrac{t} {\textit{ranks}i} }\right\rfloor \ge \textit{cars} i=0∑i=n−1⌊ranksit ⌋≥cars
则说明可以在 t t t 分钟修完所有车。
上式表明，t t t 越大，能修的车越多，越能满足要求。有了这样的单调性，我们就可以二分答案了。
二分上界为 min ( ranks ) ⋅ cars 2 \min(\textit{ranks}) \cdot \textit{cars}^2 min(ranks)⋅cars2 ，即让能力值最低（修车最快）的人修好所有车所需要的时间。
问：开方直接取整的做法是否会有精度误差？
答：代码中对整数开方，只要整数转浮点没有丢失精度（在 2 53 − 1 2^{53}-1 253−1 内），开方出来的整数部分就是正确的。具体可以参考 IEEE 754。
cpp
class Solution {
public:
long long repairCars(vector<int> &ranks, int cars) {
int min_r = *min_element(ranks.begin(), ranks.end());
long long left = 0, right = 1LL * min_r * cars * cars;
while (left + 1 < right) { // 开区间
long long mid = (left + right) / 2, s = 0;
for (int r : ranks)
s += sqrt(mid / r);
(s >= cars ? right : left) = mid;
}
return right;
}
};复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n log ( m c 2 ) ) \mathcal{O}(n\log(mc^2)) O(nlog(mc2)) ，其中 n n n 为 ranks \textit{ranks} ranks 的长度， m = min ( ranks ) m=\min(\textit{ranks}) m=min(ranks) ， c = cars c=\textit{cars} c=cars 。
- 空间复杂度： O ( 1 ) \mathcal{O}(1) O(1) 。仅用到若干额外变量。
解法2 优化
能力值相同的人，在 t t t 分钟内修好的车的个数是一样的。
根据数据范围， ranks \textit{ranks} ranks 中至多有 100100100 个不同的数字，我们可以统计 r a n k s ranks ranks 中每个数字的出现次数，这样每次二分中至多循环 100 100 100 次。
此外，如果循环中发现 s ≥ cars s\ge \textit{cars} s≥cars ，可以提前退出循环。
cpp
class Solution {
public:
long long repairCars(vector<int> &ranks, int cars) {
int min_r = ranks[0], cnt[101]{}; // 数组比哈希表更快
for (int r : ranks) {
min_r = min(min_r, r);
cnt[r]++;
}
long long left = 0, right = 1LL * min_r * cars * cars;
while (left + 1 < right) {
long long mid = (left + right) / 2, s = 0;
for (int r = min_r; r <= 100 && s < cars; r++) // 至多循环 100 次
s += (long long) sqrt(mid / r) * cnt[r];
(s >= cars ? right : left) = mid;
}
return right;
}
};复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n + M log ( m c 2 ) ) \mathcal{O}(n + M\log(mc^2)) O(n+Mlog(mc2)) ，其中 n n n 为 ranks \textit{ranks} ranks 的长度 M = max ( ranks ) M=\max(\textit{ranks}) M=max(ranks) ， m = min ( ranks ) m=\min(\textit{ranks}) m=min(ranks) ， c = c a r s c=cars c=cars 。
- 空间复杂度： O ( M ) \mathcal{O}(M) O(M) 。