代码随想录算法训练营day|139.单词拆分|多重背包基础力理论| 背包总结

139.单词拆分

力扣题目链接

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict,判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

说明:

拆分时可以重复使用字典中的单词。

你可以假设字典中没有重复的单词。

示例 1:

  • 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
  • 输出: true
  • 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。

示例 2:

  • 输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
  • 输出: true
  • 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
  • 注意你可以重复使用字典中的单词。

示例 3:

  • 输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]

  • 输出: false

动态规划五部曲

背包:字符串 长度为i

物品:字典里的单词

1.确定dp数组的含义

dp[i]: 字符串的长度为i,dp[i]就为true

2.确定递推公式

如果我们这个[j,i]的区间出现在单词里,同时dp[j]为true,那么dp[i]=true

java 复制代码
if(wordDict.contains(s.substring(j,i))&&dp[j]){
     dp[i]=true;
}

substring() 方法用于提取字符串中介于两个指定***下标*** 之间的字符。

3.初始化

dp[0]=true

4.遍历顺序

强调顺序,需要排列,先背包,后物品

5.举例推导dp[i]

以输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]为例,dp状态如图:

dp[s.size()]就是最终结果。

动规五部曲分析完毕,代码如下

java 复制代码
class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        boolean[] dp=new boolean[s.length()+1];
        dp[0]=true;
        for(int i=1;i<=s.length();i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(wordDict.contains(s.substring(j,i))&&dp[j]){
                    dp[i]=true;
                }
            }
        }
        return dp[s.length()];
    }
}

多重背包基础理论

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用,每件耗费的空间是Ci ,价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量,且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的, 为什么和01背包像呢?

每件物品最多有Mi件可用,把Mi件摊开,其实就是一个01背包问题了。

例如:

背包最大重量为10。

物品为:

重量 价值 数量
物品0 1 15 2
物品1 3 20 3
物品2 4 30 2

问背包能背的物品最大价值是多少?

和如下情况有区别么?

重量 价值 数量
物品0 1 15 1
物品0 1 15 1
物品1 3 20 1
物品1 3 20 1
物品1 3 20 1
物品2 4 30 1
物品2 4 30 1

毫无区别,这就转成了一个01背包问题了,且每个物品只用一次。

java 复制代码
public void testMultiPack1(){
    // 版本一:改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}

public void testMultiPack2(){
    // 版本二:改变遍历个数
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包,然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }
}

背包总结

动态规划五部曲

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  3. dp数组如何初始化
  4. 确定遍历顺序
  5. 举例推导dp数组

确定递推公式

问能否能装满背包(或者最多装多少):dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ,对应题目如下:

动态规划:416.分割等和子集

动态规划:1049.最后一块石头的重量 II

问装满背包有几种方法:dp[j] += dp[j - nums[i]] ,对应题目如下:

动态规划:494.目标和

动态规划:518. 零钱兑换 II

动态规划:377.组合总和Ⅳ

动态规划:70. 爬楼梯进阶版(完全背包)

问背包装满最大价值:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ,对应题目如下:

动态规划:474.一和零

问装满背包所有物品的最小个数:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ,对应题目如下:

动态规划:322.零钱兑换

动态规划:279.完全平方数

确定遍历顺序

01背包一维数组版:

先遍历物品,再遍历背包,背包从大到小遍历

完全背包:

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包

如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

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