最后一块石头的重量 II【动态规划】

最后一块石头的重量 II
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones $i$ 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

java 复制代码

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;  // 初始化一个变量用于计算所有石头的总重量
        for (int i : stones) {
            sum += i;  // 遍历石头数组并将每个石头的重量累加到总和上
        }
        int target = sum >> 1;  // 计算目标值，这里使用右移操作符来除以2，因为我们想要尽可能平分总重量
        // 初始化一个数组dp，用于动态规划，长度为(target + 1)
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            // 采用倒序遍历，这是为了避免重复使用同一个石头
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                // 在动态规划中，对于每个石头，我们有两种选择：要么放入背包，要么不放入背包
                // dp[j]表示不放入石头i时的最大重量，dp[j - stones[i]] + stones[i]表示放入石头i时的最大重量
                // 我们选择这两种情况中的较大值来更新dp数组
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        // 最终结果是总重量减去两个子集的最大值，这两个子集的总重量是target
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

实现思路：

在"Last Stone Weight II"问题中，dp $target$ 表示在总重量不超过背包容量 target 的情况下可以容纳的最大重量。这个值表示了动态规划算法的一个关键部分，用于找到一种划分方式，使两堆石头的总重量尽可能接近，并且总重量不超过总重量的一半。

定义状态： 在这个问题中，状态可以定义为 dp[j]，其中 j 表示在总重量不超过 j 的情况下可以达到的最大总重量。
找到状态转移方程： 状态转移方程可以定义为：
复制代码
```
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
```
这表示在考虑第 i 个石头时，我们可以选择将其放入或不放入背包，从而影响总重量。
初始化状态： 初始状态是 dp[0] = 0，因为没有石头可供选择时，总重量为0。
填充状态数组： 使用状态转移方程，从 dp[stones[i]] 开始迭代，一直计算到 dp[target]，其中 target 是总重量的一半。
返回最终结果： 最终结果是 sum - 2 * dp[target]，其中 sum 是所有石头的总重量，dp[target] 表示在总重量不超过 target 的情况下可以达到的最大总重量，因此 sum - 2 * dp[target] 表示两堆石头的总重量之差。

这就是使用一维动态规划来解决"Last Stone Weight II"问题的思路。通过填充一维状态数组 dp，我们可以找到一种划分方式，使两堆石头的总重量尽可能接近，并且总重量不超过总重量的一半。