一.定义

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是一个在数列中寻找一个子序列，使得这个子序列中的元素按照升序/降序排列，并且长度最长

二.例题引入

P1020 $NOIP1999 普及组$ 导弹拦截 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

我们暂且只考虑第一问

三.分析

四.解法一（O（n^2））

即两重for循环，暴力即可

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10005
using namespace std;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int n,ans;
int main(){
	while(~scanf("%d",&a[++n])); --n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(a[j]>a[i] && dp[j]+1>dp[i]){
				dp[i]=dp[j]+1;
			}
		}
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

五.解法二（O（n logn））

这里我们用最长上升子序列的思维。我只演示过程，数学证明方法是Dilworth 定理，自行查阅。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10005
using namespace std;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int n,ans;
int top;
int Find(int x){
	int l=1,r=top;
	int mid;
	int ans;
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1;
		if(dp[mid]<=x){
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}else{
			l=mid+1;
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	while(~scanf("%d",&a[++n])); --n;
	dp[++top]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(a[i]<dp[top]) dp[++top]=a[i];
		else{
			int x=Find(a[i]);
			dp[x]=a[i];
		}
	}
	printf("%d",top);
	return 0;
}