"议论平恕，无所向背"
- [1. 位姿图](#1. 位姿图)
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- [1.1 具体做法](#1.1 具体做法)
- [1.2 小结](#1.2 小结)
- [2. 因子图](#2. 因子图)
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- [2.1 具体做法](#2.1 具体做法)
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- [2.1.1 贝叶斯网络](#2.1.1 贝叶斯网络)
- [2.1.2 因子图](#2.1.2 因子图)
- [2.1.3 更具体的因子图](#2.1.3 更具体的因子图)
- [2.1.4 增量的求解方法](#2.1.4 增量的求解方法)
引入：
- 上节BA将位姿和路标都作为优化的节点，H矩阵也告诉我们路标远大于位姿，时长会导致资源等问题。
办法：
- 滑动窗口法：保持H固定大小，丢弃历史
- 位姿图：不管路标，只管位姿，从BA变成Pose Graph，容易看出资源会少很多很多，如下：
1. 位姿图
1.1 具体做法
其实仍然是用构建非线性最小二乘问题然后优化解的，只是优化变量变成了位姿 ξ \xi ξ 。
- 假设，位姿 ξ i \xi_i ξi 经过运动 Δ ξ i j \Delta \xi_{ij} Δξij 变到了 ξ j \xi_j ξj ，根据李群李代数知识，有如下等式：
Δ ξ i j = ξ i − 1 ∘ ξ j = l n ( e x p ( − ξ i ) ^ e x p ( ξ j ^ ) ) ˇ \Delta \xi_{ij} = \xi_i^{-1} \circ \xi_j = ln(exp(-\xi_i)\hat{} \; exp(\xi_j \hat{})) \v{} Δξij=ξi−1∘ξj=ln(exp(−ξi)^exp(ξj^))ˇ
用李群表示则如下：
Δ T i j = T i − 1 T j \Delta T_{ij} = T_i^{-1} T_j ΔTij=Ti−1Tj
将 T i j T_{ij} Tij 右移：
求它关于优化变量 ξ i \xi_i ξi 和 ξ j \xi_j ξj 的导数，按照李群李代数的方法，中间过程略，最终构建的总体目标函数如下：
min ξ 1 2 ∑ i , j ∈ ε e i j T Σ i j − 1 e i j \min\limits_{\xi} \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j \in \varepsilon} e_{ij}^T \Sigma^{-1}{ij}e{ij} ξmin21i,j∈ε∑eijTΣij−1eij
这里的 ε \varepsilon ε 就是所有边的集合，二范数含义就是平方项。关于这个问题的求解，我们可以用G-N,L-M等之前用的很多。略。
1.2 小结
自从PTAM提出来以后，后端优化没必要实时性了；人们将前后端分开作两个线程--跟踪和建图。
前段需要实时响应视频速度，如每秒30HZ，而后端优化只要完成后将结果返回给前端即可，所以实时性没必要了。
2. 因子图
2.1 具体做法
在介绍因子图的做法前，要先了解贝叶斯网络。
2.1.1 贝叶斯网络
直接用一个动态的贝叶斯网络来表达我们的SLAM的运动和观测方程：
- x x x 表示位姿节点
- u u u 输入量节点
- l l l 路标节点
- z z z 观测数据节点
- 箭头表示依赖关系，比如 x 2 x_2 x2 在运动方程中就依赖于 u 2 u_2 u2 和 x 1 x_1 x1， 图中也是这么标注的。
- 一次观测或者一次运动实际上是给出的条件概率关系：
P ( x 3 ∣ x 2 , u 3 ) P ( z 1 ∣ x 1 , l 1 ) P(x_3|x_2, u_3) \qquad\quad P(z_1|x_1,l_1) P(x3∣x2,u3)P(z1∣x1,l1)
图绘制完，我们后端优化的目标就是---不断调整贝叶斯网络中随机变量的取值，使得整个网络的后验概率最大化：
{ x , l } ∗ = a r g m a x ( x 0 ) ∏ P ( x k ∣ x k − 1 , u k ) ∏ P ( z k ∣ x i , l j ) \{x,l\}^* = arg max(x_0) \prod P(x_k|x_{k-1}, u_k) \prod P(z_k|x_i, l_j) {x,l}∗=argmax(x0)∏P(xk∣xk−1,uk)∏P(zk∣xi,lj)
我们发现要做这个公式，里边的乘积会很多，所以将因子化为节点，会更直观，就得到了---因子图
2.1.2 因子图
根据上边的公式，可以重新结合公式和概率公式绘制网络，得到因子图：
- 圆圈： 变量节点
- 方块： 因子节点
此时要解决因子乘积最大化的问题，通常，取所有因子的条件概率为高斯分布的形式，则运动数据和观测数据符合：
P ( x k ∣ x k − 1 ) = N ( f ( x k − 1 , u k ) , R k ) P ( z k j ∣ x k , l j ) = N ( h ( x k , l j ) , Q k j ) P(x_k|x_{k-1}) = N(f(x_{k-1}, u_k), R_k)\qquad P(z_{kj}|x_k, l_j) = N(h(x_k, l_j), Q_{kj}) P(xk∣xk−1)=N(f(xk−1,uk),Rk)P(zkj∣xk,lj)=N(h(xk,lj),Qkj)
同样的，它的解法---因子图优化，和之前的类似，也是用GN,LM等。
2.1.3 更具体的因子图
在实际中，我们可能不止有相机，还有其他先验信息---比如，GPS等，它们测到的点是确定的，也就是这些点的先验信息知道了，就可以在图中添加它们的先验信息了，还有编码器，IMU等。如下：
2.1.4 增量的求解方法
无论怎么求，最后都会落到这一步：
H Δ x = g H \Delta x = g HΔx=g
但是，当新的节点和新的边加入，它的所有节点更新量就要重新计算一次更新量。
对资源占用很大。我们继续分析因子图：
- 按照里程计的方式添加节点，在因子图中只有最后一个与之相连的节点会受影响。(实际上是接近的影响大一点)
- 那么我们只需要在有新的变量和因子加入时，分析它和因子图的连接和影响关系：
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- 如果按照回环检测方式添加，回环开始到这一帧这一段的节点都受影响，都要调整
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- 如果只添加一个任意节点，则影响区域几乎只作用于离他最近的点
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如下：
