LC1713. 得到子序列的最少操作次数
题目描述
难度 - 困难
LC1713.得到子序列的最少操作次数
给你一个数组 target ，包含若干 互不相同 的整数，以及另一个整数数组 arr ，arr 可能 包含重复元素。每一次操作中，你可以在 arr 的任意位置插入任一整数。比方说，如果 arr = [1,4,1,2] ，那么你可以在中间添加 3 得到 [1,4,3,1,2] 。你可以在数组最开始或最后面添加整数。
请你返回 最少 操作次数，使得 target 成为 arr 的一个子序列。
一个数组的 子序列 指的是删除原数组的某些元素（可能一个元素都不删除），同时不改变其余元素的相对顺序得到的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的子序列（加粗元素），但 [2,4,2] 不是子序列。
示例 1：输入：target = [5,1,3], arr = [9,4,2,3,4]
输出：2
解释：你可以添加 5 和 1 ，使得 arr 变为 [5,9,4,1,2,3,4] ，target 为 arr 的子序列。
示例 2：输入：target = [6,4,8,1,3,2], arr = [4,7,6,2,3,8,6,1]
输出：3
提示：1 <= target.length, arr.length <= 10^5
1 <= target[i], arr[i] <= 10^9
target 不包含任何重复元素。
LIS 动态规划 + 二分法
为了方便，我们令 target 长度为 n，arr 长度为 m，target 和 arr 的最长公共子序列长度为 max，不难发现最终答案为 n−max。
因此从题面来说，这是一道最长公共子序列问题（LCS）。
但朴素求解 LCS 问题复杂度为 O(n∗m)，使用状态定义「f[i][j] 为考虑 a 数组的前 i 个元素和 b 数组的前 j 个元素的最长公共子序列长度为多少」进行求解。
而本题的数据范围为 10^5，使用朴素求解 LCS 的做法必然超时。
一个很显眼的切入点是 target 数组元素各不相同，当 LCS 问题增加某些条件限制之后，会存在一些很有趣的性质。
其中一个经典的性质就是：当其中一个数组元素各不相同时，最长公共子序列问题（LCS）可以转换为最长上升子序列问题（LIS）进行求解。同时最长上升子序列问题（LIS）存在使用「维护单调序列 + 二分」的贪心解法，复杂度为 O(nlogn)。
因此本题可以通过「抽象成 LCS 问题」->「利用 target数组元素各不相同，转换为 LIS 问题」->「使用 LIS 的贪心解法」，做到 O(nlogn) 的复杂度。
朴素的 LIS 问题求解，我们需要定义一个 f[i] 数组代表以 nums[i] 为结尾的最长上升子序列的长度为多少。对于某个 f[i] 而言，我们需要往回检查 [0,i−1] 区间内，所有可以将 nums[i] 接到后面的位置 jjj，在所有的 f[j]+1中取最大值更新 f[i]。因此朴素的 LIS 问题复杂度是 O(n^2) 的。
LIS 的贪心解法则是维护一个额外 ggg 数组，g[len]=x 代表上升子序列长度为 lenlenlen 的上升子序列的「最小结尾元素」为 x。
整理一下，我们总共有两个数组：
- f 动规数组：与朴素 LIS 解法的动规数组含义一致。f[i]f[i]f[i] 代表以 nums[i] 为结尾的上升子序列的最大长度；
- g 贪心数组：g[len]=x代表上升子序列长度为 len 的上升子序列的「最小结尾元素」为 x。
由于我们计算 f[i] 时，需要找到满足 nums[j]<nums[i]，同时取得最大 f[j] 的位置 j。
我们期望通过 g 数组代替线性遍历。显然，如果 g 数组具有「单调递增」特性的话，我们可以通过「二分」找到符合 g[idx]<nums[i] 分割点 idxi（下标最大），即利用 O(logn) 复杂度找到最佳转移位置。
代码演示
java
class Solution {
public int minOperations(int[] target , int[] arr) {
Map<Integer, Integer> map = new HashMap();
int Tlen = target.length, Alen = arr.length;
//1：target的元素和对应下标 装入map
for(int i = 0; i < Tlen; i++)
map.put(target[i], i);
//2：在arr中寻找相等的值的下标装入下标数组
int[] index = new int[Alen];
int p = 0;
for(int i = 0; i < Alen; i++){
if(map.containsKey(arr[i]))
index[p++] = map.get(arr[i]);
}
//3：直接调用处理最长递增公共子串代码（之前做过，这里赋值过来，偷懒）
int uplen = lengthOfLIS(index,p);
return Tlen - uplen;
}
public int lengthOfLIS(int[] nums,int n){
if(n == 0) return 0;
int res = 1;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = nums[0];
for(int num:nums){
int i = 0,j = res;
while(i < j){
int mid = (i + j)>>1;
if(dp[mid] >= num) j = mid;
else i = mid + 1;
}
dp[i] = num;
if(j == res) res++;
}
return res;
}
}