概率论的相关知识

理解随机变量 X X X和 x x x的区别， F X ( x ) F_X(x) FX(x)、 f X ( x ) f_X(x) fX(x)
X X X代表的是随机变量， x x x是样本值，是 X X X的具体取值，分布函数 F X ( x ) F_X(x) FX(x)和概率密度 f X ( x ) f_X(x) fX(x)中的下角标大写 X X X代表的就是随机变量， x x x是自变量取值。
e . g . P ( X = x ) = 0.3 e.g. P(X=x)=0.3 e.g.P(X=x)=0.3
F X ( x ) F_X(x) FX(x)和 F X ( y ) F_X(y) FX(y)的理解

问： F X ( y ) F_X(y) FX(y)是谁的函数？对 F X ( y ) F_X(y) FX(y)求导得到的是谁的概率密度函数？
e . g . e.g. e.g.

已知随机变量X的分布函数是F_X(x)，随机变量 Y = X 2 Y = \frac{X}{2} Y=2X，求Y的概率密度函数$

解：
F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { X 2 ≤ y } = P { X ≤ 2 y } = F X ( 2 y ) F_Y(y)=P\{Y≤y\}=P\{\frac{X}{2}≤y\}=P\{X≤2y \}=F_X(2y) FY(y)=P{Y≤y}=P{2X≤y}=P{X≤2y}=FX(2y)
f Y ( y ) = 2 f X ( 2 y ) f_Y(y)=2f_X(2y) fY(y)=2fX(2y)(求导后由分布函数变成概率密度函数)

总结：
F X ( 2 y ) F_X(2y) FX(2y)虽然右下角下标是 X X X，但它依然是 y y y的函数，对 F X ( 2 y ) F_X(2y) FX(2y)求导的本质是对 y y y求导，得到 2 f X ( 2 y ) 2f_X(2y) 2fX(2y)，这是一个复合函数求导，先对 F X ( x ) F_X(x) FX(x)求导，再对 x = 2 y x=2y x=2y求导
F ( x ) F(x) F(x)和 F ( X ) F(X) F(X)的理解
F ( x ) F(x) F(x)是 F X ( x ) F_X(x) FX(x)的简写，是 X X X的分布函数，那 F ( X ) F(X) F(X)是____？

理解：给随机变量 X X X作用一个函数 F ( ) F() F()，得到的 F ( X ) F(X) F(X)是一个新的随机变量，一般做题时令 Y = F ( X ) Y=F(X) Y=F(X)，去求 Y Y Y的分布函数、概率密度函数或者数字特征.

e.g.

2019年（数一、数三）14题

设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = { x 2 0 < x < 2 0 其他 f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2} & 0<x<2 \\0 & 其他 \end{cases} f(x)={2x00<x<2其他， F ( x ) F(x) F(x)为 X X X的分布函数， E X EX EX为 x x x的数学期望，则 P { F ( X ) > E X − 1 } = _ _ _ _ P \{ F(X)>EX-1 \}=\\\\ P{F(X)>EX−1}=____

解： E X = ∫ 0 2 x ⋅ x 2 d x = x 3 6 ∣ 0 2 = 4 3 EX= \int_{0}^{2}x\cdot\frac{x}{2}dx=\frac{x^3}{6}|_{0}^{2}=\frac{4}{3} EX=∫02x⋅2xdx=6x3∣02=34

现在就是求 P { F ( X ) > 1 3 } P\{ F(X)>\frac{1}{3}\} P{F(X)>31}，令 Y = F ( X ) Y=F(X) Y=F(X)，注意这是个随机变量（不是分布函数），但我们需要先求x的分布函数
F ( x ) = { 0 x < 0 ∫ 0 x x 2 d x = x 2 4 0 ≤ x < 2 1 x ≥ 2 F(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\\int_{0}^{x}\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{4} & 0≤x<2 \\ 1&x≥2 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0∫0x2xdx=4x21x<00≤x<2x≥2

由于 F ( X ) F(X) F(X)和 F ( x ) F(x) F(x)的对应法则是一样的，所以直接把 x x x变成 X X X即可得到 F ( X ) F(X) F(X)
F ( X ) = { 0 X < 0 X 2 4 0 ≤ X < 2 1 X ≥ 2 F(X)=\begin{cases} 0 & X<0 \\ \frac{X^2}{4} & 0≤X<2 \\ 1&X≥2 \end{cases} F(X)=⎩ ⎨ ⎧04X21X<00≤X<2X≥2