matlab符号函数

一、符号函数简介

符号函数是matlab的一个重要功能，可以用来表示数学上的函数，同时也可以用来进行数值计算。

创建符号函数的方法：

利用syms定义符号变量生成符号函数
利用sym和@生成符号函数
利用函数文件生成符号函数

1.1 syms方法

首先利用syms命令定义自变量，然后再生成符号函数

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syms sigamn m ft sigam3;
sigamn = (12*m*ft + (12*m+5)*sigam3) / (24*m -1); % sigamn 就是一个符号函数

1.2 利用sym和@方法

首先使用@声明变量，在其后写符号函数表达式，之后使用sym转换成符号函数，就可以进行其他符号运算。

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y = @(t) sin(t) - cos(t) + exp(t);
ys = sym(y);

y1 = @(a,b) cos(a) + cos(b);
ys1 = sym(y1)；

1.3 函数文件法

利用函数文件来生成符号函数。(实际上，也是用1.1或者1.2的方法实现)

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function output = xpower(n)
    syms x
    output = x^n;
end

二、符号函数操作

2.1 符号函数的数值运算

对于符号函数，可以计算符号函数在某些点处的函数值，此时需要使用matlabFunction命令做一次转换。

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syms x;
y = sin(x) - cos(x) + exp(x);
y_f = matlabFunction(y1);
x0 = [0, pi];
y_v = y_f(x0); % 计算符号函数y_f在x0处的函数值，x0可以是单个值，也可以是数组

2.2 符号函数化简

合并同类项
使用collect(f)函数来合并多项式中相同的项。
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```
syms x t;
f=(1+x)*t+x*t;
collect(f)
```
因式分解
使用factor(f)对多项式进行因式分解，如果无法在有理数的范围内作分解, 那么返回的结果还是输入值。
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```
syms f;
f=x^3-6*x^2+11*x-6;
factor(f);
```
多项式展开
使用expand(f)实现多项式展开。
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```
syms x
f=x*(x*(x-1)+3)+2;
expand(f);
```

符号函数化简
使用simplify(f)函数和simple(f)函数对符号函数进行化简

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syms a b c;   %定义为符号变量
r = 2;
ss = a^r/((a-b)*(a-c))+b^r/((b-c)*(b-a))+c^r/((c-a)*(c-b)); %多项式公式
simplify(ss); %%简化多项式
simple(ss);
% simple是通过对表达式尝试多种不同的方法（包括simplify）进行化简
% 以寻求符号表达式的最简形式。

2.3 方程求解

solve()函数可以求解代数方程(多项式方程)的符号解析解。

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syms x;
y = x*sin(x)-x; 
solve(y, x);  % 只有一个自变量，可以省略自变量，同solve(y)
solve(y==0);

2.4 符号函数求导

2.4.1 一元符号函数求导

可以使用命令diff对符号函数进行求导，并且当diff作用到向量或者矩阵使可以求差分。

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syms x;
y = x^4 - 5*x^2 +6;

diff(y,1); % 求1阶导，同diff(y)
diff(y,2); % 求2阶导

当diff作用于符号函数上时，可以对符号函数进行求导。

第一个参数传入符号函数
第二个参数传入要求几阶导，默认求1阶导。

2.4.2 多元符号函数求导

第一个参数为待求导符号函数
第二个参数为要对哪个自变量求偏导
第三个参数为要求几阶导数
当连续对自变量求偏导时，放在前面的自变量先求偏导，后面的自变量后求偏导。

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syms x1 x2 x3;
y = x1^5*x2 + x2*x3 - x1^2*x3;
py1 = diff(y,x1,1); % 对x1求一阶偏导
py2 = diff(y,x1,2); % 对x1求二阶偏导
py3 = diff(y,x1,x2); % 先对x1求偏导，再对x2求偏导
py4 = diff(y,x2,x1); % 先对x2求偏导，再对x1求偏导

如果diff函数作用的对象不是符号函数，而是矩阵，那么对应的功能就是求差分。

2.5 符号函数定积分

使用int()函数，可以对符号函数进行定积分计算。

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% 使用形式： 
int(被积函数,积分变量，积分下限，积分上限); 
% 如果只有一个参量，可以省略第2项

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syms x b;
f = b + 2*x;
int_f = int(f,x,-6,6);