线性代数(七) 矩阵分析

懒猫gg2023-10-03 14:40

从性线变换我们得出，矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。

通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性 。

研究矩阵序列收敛性的常用方法，是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。

长度是范数的一个特例。事实上，Frobenius范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时，就是把这三条性质作为公理来定义内积的

在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列，关于这样的矩阵序列有如下概念和收敛定理：

r(A)是谱半径是一个矩阵的特征值绝对值中的最大值，用于描述矩阵的特征值的尺度大小。

即 a k = k = > r = lim ⁡ k → ∞ ｜ a k + 1 a k ｜ = ｜ k + 1 k ｜ = 1 a_k= k => r= \lim\limits_{k \to \infty} ｜\dfrac{a_{k+1}}{a_k}｜=｜\dfrac{{k+1}}{k}｜= 1 ak=k=>r=k→∞lim｜akak+1｜=｜kk+1｜=1
由范式2得到 p ( A ) = 5 6 p(A)=\dfrac{5}{6} p(A)=65

注1：假设E-A不可逆，那么E-A有0特征值，A的特征值为1。而A的谱半径小于1，矛盾，故E-A可逆

注2：A的谱半径小于1，由定理3可知A为收敛矩阵。那么 A k + 1 A^{k+1} Ak+1 就趋近于0（k趋于无穷）

常用的有以下几种方法

求矩阵A的特征多项式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I - A| ∣λI−A∣
利用Hamilton-Cayley定理，求出A的一次性化零多项式 ψ ( A ) = 0 \psi(A)=0 ψ(A)=0 - 求解 f ( A ) f(A) f(A)多项式
当 A = λ ，即 ψ ( A ) = f ( A ) A=\lambda，即\psi(A)=f(A) A=λ，即ψ(A)=f(A)

sin的导注是cos

e x e^x ex的导数是它本身的导数,因此， e ( 2 t ) 的导数是 2 e ( 2 t ) e^(2t) 的导数是 2e^(2t) e(2t)的导数是2e(2t)。