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前言
记录知乎的自问自答。
一、问题描述
我的问题是这样的，有两个列向量E和F，需要注意的是，E和F是连续的，可任意插值，得到包含其中的子向量。E和F通过一个m×n的矩阵联系起来，如下： M m × n × E n × 1 = F m × 1 M_{m\times n}\times E_{n\times 1}=F_{m\times 1} Mm×n×En×1=Fm×1现在，我通过线性插值的方式，得到了E和F的子向量，它们长度分别为v和u，那么请问，我该如何求得矩阵M'，使得： M u × v ′ × E v × 1 = F u × 1 M'{u\times v}\times E{v\times 1}=F_{u\times 1} Mu×v′×Ev×1=Fu×1
二、回答
可能是我表述不明白？或者这个问题比较简单？思考了两天，找到了在一定假设下能够实现我需求的方法，这里记录一下。
对于这种要采样的矩阵来说，最麻烦的是，每行的采样方式，因为这是一个相乘再求和的过程，在这个基础上，对结果进行插值，再求矩阵，不可避免地会产生问题。好在我这里的实际问题能够在有效的假设下，规避这个问题。
既然说，E和F都是连续的，不妨设存在函数E(x)和F(x)来描述这两个向量。我们从简单的地方出发，看看会遇到什么问题，先在行方向上采用，再处理列方向的采样。
首先，我们来计算F的第一行， F 1 = M 1 , 1 × E 1 + M 1 , 2 × E 2 + . . . + M 1 , n × E n = ∑ j = 1 n M 1 , j × E j F_1=M_{1,1}\times E_1+M_{1,2}\times E_2+...+M_{1,n}\times E_n=\sum_{j=1}^{n}{M_{1,j}}\times E_j F1=M1,1×E1+M1,2×E2+...+M1,n×En=∑j=1nM1,j×Ej。既然E和F都是连续的，那么不难推断，M应当也是连续的，可任意插值，不妨在第一行上，我们用m(x)表示。那么刚才的式子就可以写成 F 1 = ∫ 1 n m ( x ) E ( x ) d x F_1=\int_{1}^{n}m\left( x \right)E\left( x \right)dx F1=∫1nm(x)E(x)dx。
现在，我们期望的是，从E(x)中任意抽出的序列 E v × 1 E_{v\times 1} Ev×1，都能找到对应的m(x)的序列 M 1 × v ′ M'{1\times v} M1×v′，继续满足 F 1 = ∑ j = 1 v M 1 , j ′ × E j F_1=\sum{j=1}^{v}{M'_{1,j}}\times E_j F1=∑j=1vM1,j′×Ej。你可能想用拟合的方法求得m(x)，但不幸的是，m(x)并没有你想的平缓，拟合容易出问题，而且我的问题对数值比较敏感，M矩阵的量级在 1 0 − 5 10^{-5} 10−5，贸然拟合恐怕会有比较大的偏差。相对于拟合，我更喜欢插值。
我们把视野再缩小一点，看看 E v × 1 E_{v\times 1} Ev×1中的某个 E i E_i Ei，如何通过插值获得其对应的 M 1 , i ′ M'{1,i} M1,i′呢？不失一般性地，我们找到 M 1 , i ′ M'{1,i} M1,i′在原始矩阵中临近的两个值m(a)，m(b)和它们对应的E(a)，E(b)。我们希望的是， ∫ a b m ( x ) E ( x ) d x = m ′ ( i ) × E ( i ) \int_{a}^{b}m\left( x \right)E\left( x \right)dx=m'\left( i \right)\times E\left( i \right) ∫abm(x)E(x)dx=m′(i)×E(i)，这时，我们重要的假设就要登场了。
好在，在一个a-b的区间内，可以合理假设E是不变的，或者，该积分的值主要受m(x)影响，那么上面的式子就变成了 ∫ a b m ( x ) d x = m ′ ( i ) \int_{a}^{b}m\left( x \right)dx=m'\left( i \right) ∫abm(x)dx=m′(i)。至此，通过合理的假设，完成了M'在行方向上的采样。
那么继续，在列方向上的采样就简单得多了，直接线性插值即可，因为矩阵的每一行之间没有计算。
解决这个问题稍显兴奋，写得有些啰里吧嗦，感谢您能浪费时间在这个问题上。