[图论]哈尔滨工业大学(哈工大 HIT)学习笔记32-39

视频来源:6.1.1 树的定义_哔哩哔哩_bilibili

目录

[1. 树的定义](#1. 树的定义)

[2. 树的性质](#2. 树的性质)

[3. 极小连通图](#3. 极小连通图)

[4. 树的中心](#4. 树的中心)

[5. 生成树](#5. 生成树)

[6. 最小生成树](#6. 最小生成树)

[7. 割点](#7. 割点)

[8. 割点的性质](#8. 割点的性质)


1. 树的定义

(1)定义:一个连通的无圈的图称为树

(2)平凡树:只有一个顶点的树

(3)推论1:非平凡树至少有两个叶子(?)

(4)推论2:树是双图

2. 树的性质

(1)定理1:若有G(V,E),且G是个(p,q)图,以下命题等价

①G是树

②G中任意两个顶点间有唯一的路

③G连通,p=q+1

④G中无圈,p=q+1

⑤G中无圈,且G中任意两个不邻接顶点间加一条边得到一个有唯一圈的图

(2)假设对少于p个顶点且满足(1)②的图,p=q+1成立,则G是一个(p,q)图。从G中去掉一条边得到两个支G1=(p1,q1)和G2=(p2,q2)

3. 极小连通图

(1)定义:树的等价定理,去掉一条边就不连通了

(2)定理1:G是树G是极小连通图

4. 树的中心

(1)有树G=(V,E),偏心率 (即距离中最大的为偏心率)

(2)半径有

(3)中心

(4)树的中心要么是一个要么是两个(以下为两个中心性的情况)

5. 生成树

(1)定义:图G的一个生成子图如果是树,则称其为生成树

(2)定理:一个图有生成树图是连通图(证明方式:破圈法)

6. 最小生成树

(1)最小的带权生成树,即边的权值最小

(2)算法:普里姆、克鲁斯卡尔等

7. 割点

(1)定义: 有图G=(V,E),v∈V,若G-v的分支数大于G的分支数,则称v为G的一个割点

(2)有割点的图一定不是哈密顿图

(3)每个非平凡图至少有两个顶点不是割点

8. 割点的性质

(1)v是割点

(2) , u,w间的所有路通过v

(3)存在 的一个划分 ,使得,u,w之间的路均通过v

(4)割点桥: 有图G=(V,E),x∈E,若G-x的分支数大于G的分支数,则称x为G的一个桥

(5)桥不在任何圈上

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