【Overload游戏引擎分析】从视图投影矩阵提取视锥体及overload对视锥体的封装

overoad代码中包含一段有意思的代码，可以从视图投影矩阵逆推出摄像机的视锥体，本文来分析一下原理

一、平面的方程

视锥体是用平面来表示的，所以先看看平面的数学表达。

平面方程可以由其法线N=（A, B, C）和一个点Q=(x0,y0,z0)定义，其形式为：
A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 整理变为： A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0, 其中 D = − A x 0 − B y 0 − C z 0 D=−Ax_{0}−By_{0}−Cz_{0} D=−Ax0−By0−Cz0

方程进一步可以将方程归一化：
A A 2 + B 2 + C 2 x + B A 2 + B 2 + C 2 y + C A 2 + B 2 + C 2 z + D A 2 + B 2 + C 2 = 0 \frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2} } } x + \frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2} } }y+\frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2} } }z+\frac{D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2} } } = 0 A2+B2+C2 Ax+A2+B2+C2 By+A2+B2+C2 Cz+A2+B2+C2 D=0 写成通用格式 a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 ax+by+cz+d=0

那么点 p = ( x 1 , y 1 , z 1 ) p=(x_{1}, y_{1}, z_{1}) p=(x1,y1,z1)到平面的距离为：
D = a x 1 + b y 1 + c z 1 + d D=ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d D=ax1+by1+cz1+d

一个平面会将空间分成两个半空间（halfspace），进一步法线的朝向的空间称为正半空间（positive halfspace），法线背离的空间称为反半空间（negative halfspace）。根据D的符号可以判断点的相对位置：

D < 0，点位于反半空间
D = 0，点位于平面上
D > 0，点位于正半空间

这种特性可用于判断点是否在视锥体内部。

二、OpenGL视锥体

视锥体是摄像机能看到的区域，只有在视锥体内的物体才能被看到。其由近平面、远平面与周围四个面组成，形成一个平截头体区域。

三、Overload对视锥体的封装

Overload对视锥体的封装在文件Frustum.h、Frustum.cpp中。先看其定义：

cpp 复制代码

class Frustum
{
public:
	/**
	* 根据视图投影矩阵提取视锥体
	* @param p_viewProjection
	*/ 
	void CalculateFrustum(const OvMaths::FMatrix4& _viewProjection);
	/**
	* 判断点是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	*/
	bool PointInFrustum(float p_x, float p_y, float _z) const;
	/**
	* 判断球是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	* @param p_radius
	*/
	bool SphereInFrustum(float p_x, float p_y, loat p_z, float p_radius) const;
	/**
	* 判断立方体是不是在视锥体内
	* @param p_x
	* @param p_y
	* @param p_z
	* @param p_size
	*/
	bool CubeInFrustum(float p_x, float p_y, float _z, float p_size) const;
	/**
	* 判断包围球是不是在视锥体内
	* @param p_boundingSphere
	* @param p_transform
	*/
	bool BoundingSphereInFrustum(const vRendering::Geometry::BoundingSphere& _boundingSphere, const OvMaths::FTransform& _transform) const;
	/**
	* 返回近平面
	*/
	std::array<float, 4> GetNearPlane() const;
	/**
	* 返回远平面
	*/
	std::array<float, 4> GetFarPlane() const;
private:
	float m_frustum[6][4];  // 6个平面的方程参数
};

m_frustum保存着6个平面的方程参数，为了提升操作便利性，其定义了两个枚举作为索引：

cpp 复制代码

enum FrustumSide
{
	RIGHT = 0,		// The RIGHT side of the frustum
	LEFT = 1,		// The LEFT	 side of the frustum
	BOTTOM = 2,		// The BOTTOM side of the frustum
	TOP = 3,		// The TOP side of the frustum
	BACK = 4,		// The BACK	side of the frustum
	FRONT = 5		// The FRONT side of the frustum
};

// 平面方程的参数索引
enum PlaneData
{
	A = 0,				// The X value of the plane's normal
	B = 1,				// The Y value of the plane's normal
	C = 2,				// The Z value of the plane's normal
	D = 3				// The distance the plane is from the origin
};

函数的具体实现在文件Frustum.cpp中，我们先看最基础的判断点是否在视锥体内：

cpp 复制代码

bool OvRendering::Data::Frustum::PointInFrustum(float x, float y, float z) const
{
	for (int i = 0; i < 6; i++)
	{
		if (m_frustum[i][A] * x + m_frustum[i][B] * y + m_frustum[i][C] * z + m_frustum[i][D] <= 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

定义视锥体的面法线都是朝外的，如果点在视锥体内，点到6个面的距离必须全部小于0。进一步判断球体是否完全在视锥体内，距离必须小于半径的负数。

最后分析一下CalculateFrustum，它是根据一个视图投影矩阵反向构建一个视锥体，具体公式怎么来的可以参考这篇文章，里面将的特别详细：
Fast Extraction of Viewing Frustum Planes from the World View-Projection Matrix

其本身的代码没啥好说的，无非就是公式的翻译。