【考研408真题】2022年408数据结构41题---判断当前顺序存储结构树是否是二叉搜索树

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• 思路
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思路

很明显，这是一个顺序存储结构的树的构成方法。其中树的根节点位置从索引0开始，对于该结构，存在有：如果当前根节点的下标为n，那么其左子树下标为2n+1，右子树下标为2n+2。

而对于BST，我们知道，其一个非常显著的特点就是：对于根节点root，其左子树小于其根节点的值，其右子树大于其根节点的值。同时，如果当前节点为null，不影响其是否为BST。

基于这个理论，我们大概的实现思路是：递归的判断当前根节点的左子树和右子树，并且限定其左右子树的值的大小区间范围。

那么这里应该如何去限制这个范围呢？

从上面的理论中我们可以得到如下的伪代码：

//如下代码基于链式存储结构 不过不影响理论实践
bool isBST(SqBiTree* root,int low,int high)
{
	if(root==null){
		return true;
	}
	//这里逻辑严谨应该增加一个左右指针的非空判断 我就不写了
	if(root.left.val>=root.val || root.right.val <= root.val){
		return false;
	}
	return isBST(root.left,low,root.val) && 
	isBST(root.right,root.val,maxValue);
}

为什么要这么写呢？

首先我们基于上面的定义，如果当前节点为空，不影响当前树是否是BST，因此直接返回tree。

之后，我们开始条件判断，当前节点的左右子节点，是否小于和大于当前节点。

如果不是，也就是违法了BST的特性，那么我们直接返回false。

并且，我们一开始也说了，这应该是一个递归的判断过程，因此我们还需要对当前root节点的左子树和右子树继续去执行当前的递归过程。

那么递归的条件是什么？

对于当前节点的左子树，其最小值应该是不限定的，但是其最大值必须小于当前节点的值，

而对于其右子树，其最小值应该大于当前节点的值，其最大值不限。

所以就可以得到最后两行代码的条件了。

那么换到我们题目中，我们只需要将指针操作，修改为对数组下标的数据判断即可。

最终就可以得到如下代码：

// 递归函数，判断以n为根的二叉树是否是BST
bool isBSTUtil(BinaryTree *T, int n, TreeNodeType minVal, TreeNodeType maxVal)
{
    if (T->data[n] == '\0')
        return true;

    TreeNodeType nodeValue = T->data[n];

    // 检查当前节点的值是否在[minVal, maxVal]的范围内
    if ((nodeValue <= minVal) || ( maxVal <= nodeValue))
        return false;

    // 递归检查左子树和右子树，更新范围
    return isBSTUtil(T, 2 * n, minVal, nodeValue) && isBSTUtil(T, 2 * n + 1, nodeValue, maxVal);
}

ok，经过上面的解释，我们就已经得到了完整的当前题目的实现思路了。

完整代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <math.h>

#define MaxSize 100

typedef int TreeNodeType;

// 二叉树结构
typedef struct
{
    TreeNodeType data[MaxSize];
    int BiTreeNum;
} BinaryTree;

// 声明队列数据结构
typedef struct
{
    int front, rear;
    int size;
    int capacity;
    int *array;
} Queue;

void initTree(BinaryTree *T);
void createTree(BinaryTree *T, int n);
TreeNodeType rootTree(BinaryTree *T);
int countTree(BinaryTree *T);
int maxDepthOfTree(BinaryTree *T, int n);
void preOrderTraverse(BinaryTree *T, int n);
void inOrderTraverse(BinaryTree *T, int n);
void postOrderTraverse(BinaryTree *T, int n);
void levelOrderTraverse(BinaryTree *T); // 层序遍历
bool destoryTree(BinaryTree *T);
void traverseArray(BinaryTree *T); // 遍历数组
bool isBSTUtil(BinaryTree *T, int n, TreeNodeType minVal, TreeNodeType maxVal);

// 队列相关函数
Queue *createQueue(int capacity);
bool isQueueEmpty(Queue *queue);
bool isQueueFull(Queue *queue);
void enqueue(Queue *queue, int item);
int dequeue(Queue *queue);

int main()
{
    BinaryTree T;
    // 开始构造二叉树 其中使用1作为根节点下标
    // 而不是使用0，使用0的问题在于不好表示数据在数组中的位置
    // 我们知道二叉树满足 当前节点n的左子树和右子树的序列号应该为 2n和2n+1
    initTree(&T);
    printf("请输入根结点(输入#表示该结点为空):");
    createTree(&T, 1);

    traverseArray(&T);

    printf("当前二叉树的最大深度为：%d\n", maxDepthOfTree(&T, 1));

    printf("先序遍历：");
    preOrderTraverse(&T, 1);
    printf("\n");

    printf("中序遍历：");
    inOrderTraverse(&T, 1);
    printf("\n");

    printf("后序遍历：");
    postOrderTraverse(&T, 1);
    printf("\n");

    printf("层序遍历：");
    levelOrderTraverse(&T);
    printf("\n");

    if (isBSTUtil(&T, 1, -10000, 10000))
    {
        printf("this is a BST");
    }
    else
    {
        printf("this is not a BST");
    }

    return 0;
}

void initTree(BinaryTree *T)
{
    int i;
    for (i = 0; i < MaxSize; ++i)
    {
        T->data[i] = '\0';
    }

    T->BiTreeNum = 0;
    return;
}

void createTree(BinaryTree *T, int n)
{
    char ch;
    // 刷新（清空）标准输入流（stdin）
    // 主打一个求稳
    fflush(stdin);
    // 输入当前节点信息 # 代表当前节点为空
    // 先构造过字数
    scanf(" %c", &ch);
    if (ch == '#')
    { // 空直接返回
        return;
    }
    else
    {
        T->data[n] = ch;
        T->BiTreeNum++;
        printf("输入 %c 的左子树数据（输入#表示当前左子树为空: ", ch);
        // 这里有一个技巧
        createTree(T, 2 * n);
        printf("输入 %c 的右子树数据（输入#表示当前右边子树为空）: ", ch);
        createTree(T, (2 * n + 1));
    }
}

// 计算二叉树的最大深度
// 从根节点到叶子节点的最长路径的长度
// 由于是顺序结构 因此这里从第一层也就是n=1开始向下遍历
// 然后不断的判断左子树和右子树的高度
// 最后取最大值
int maxDepthOfTree(BinaryTree *T, int n)
{
    if (n <= T->BiTreeNum && T->data[n] != '\0')
    {
        int leftDepth = maxDepthOfTree(T, 2 * n);
        int rightDepth = maxDepthOfTree(T, 2 * n + 1);

        return 1 + fmax(leftDepth, rightDepth);
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}

// 先序遍历 根左右
void preOrderTraverse(BinaryTree *T, int n)
{
    if (T->data[n] == '\0')
        return;
    else
    {
        printf("%c ", T->data[n]);
        preOrderTraverse(T, 2 * n);
        preOrderTraverse(T, (2 * n + 1));
    }
}
// 中序遍历 左根由7
void inOrderTraverse(BinaryTree *T, int n)
{
    if (T->data[n] == '\0')
        return;
    else
    {
        inOrderTraverse(T, 2 * n);
        printf("%c ", T->data[n]);
        inOrderTraverse(T, (2 * n + 1));
    }
}
// 后序遍历  左右根
void postOrderTraverse(BinaryTree *T, int n)
{
    if (T->data[n] == '\0')
        return;
    else
    {
        postOrderTraverse(T, 2 * n);
        postOrderTraverse(T, (2 * n + 1));
        printf("%c ", T->data[n]);
    }
}
void traverseArray(BinaryTree *T)
{
    for (int i = 1; i <= T->BiTreeNum; i++)
    {
        printf("%c  ", T->data[i]);
    }
    printf("\n");
}

// 层序遍历二叉树
void levelOrderTraverse(BinaryTree *T)
{
    if (T->BiTreeNum == 0)
    {
        printf("二叉树为空\n");
        return;
    }

    Queue *queue = createQueue(T->BiTreeNum);
    int current = 1; // 从根节点开始

    while (current <= T->BiTreeNum)
    {
        printf("%c ", T->data[current]);

        if (2 * current <= T->BiTreeNum && T->data[2 * current] != '\0')
        {
            enqueue(queue, 2 * current);
        }

        if (2 * current + 1 <= T->BiTreeNum && T->data[2 * current + 1] != '\0')
        {
            enqueue(queue, 2 * current + 1);
        }

        if (!isQueueEmpty(queue))
        {
            current = dequeue(queue);
        }
        else
        {
            break;
        }
    }

    free(queue->array);
    free(queue);
}

// 创建队列
Queue *createQueue(int capacity)
{
    Queue *queue = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
    if (!queue)
    {
        perror("内存分配失败");
        exit(EXIT_FAILURE);
    }

    queue->front = 0;
    queue->rear = -1;
    queue->size = 0;
    queue->capacity = capacity;
    queue->array = (int *)malloc(capacity * sizeof(int));
    if (!queue->array)
    {
        perror("内存分配失败");
        exit(EXIT_FAILURE);
    }

    return queue;
}

// 检查队列是否为空
bool isQueueEmpty(Queue *queue)
{
    return (queue->size == 0);
}

// 检查队列是否已满
bool isQueueFull(Queue *queue)
{
    return (queue->size == queue->capacity);
}

// 入队列
void enqueue(Queue *queue, int item)
{
    if (isQueueFull(queue))
    {
        printf("队列已满\n");
        return;
    }

    queue->rear = (queue->rear + 1) % queue->capacity;
    queue->array[queue->rear] = item;
    queue->size++;
}

// 出队列
int dequeue(Queue *queue)
{
    if (isQueueEmpty(queue))
    {
        printf("队列为空\n");
        return -1;
    }

    int item = queue->array[queue->front];
    queue->front = (queue->front + 1) % queue->capacity;
    queue->size--;

    return item;
}

// 递归函数，判断以n为根的二叉树是否是BST
bool isBSTUtil(BinaryTree *T, int n, TreeNodeType minVal, TreeNodeType maxVal)
{
    if (T->data[n] == '\0')
        return true;

    TreeNodeType nodeValue = T->data[n];

    // 检查当前节点的值是否在[minVal, maxVal]的范围内
    if ((nodeValue <= minVal) || ( maxVal <= nodeValue))
        return false;

    // 递归检查左子树和右子树，更新范围
    return isBSTUtil(T, 2 * n, minVal, nodeValue) && isBSTUtil(T, 2 * n + 1, nodeValue, maxVal);
}

408考研各数据结构C/C++代码（Continually updating）

408考研各数据结构C/C++代码（Continually updating）

这个模块是我应一些朋友的需求，希望我能开一个专栏，专门提供考研408中各种常用的数据结构的代码，并且希望我附上比较完整的注释以及提供用户输入功能，ok，fine，这个专栏会一直更新，直到我认为没有新的数据结构可以讲解了。

目前我比较熟悉的数据结构如下：

数组、链表、队列、栈、树、B/B+树、红黑树、Hash、图。

所以我会先有空更新出如下几个数据结构的代码，欢迎关注。 当然，在我前两年的博客中，对于链表、哈夫曼树等常用数据结构，我都提供了比较完整的详细的实现以及思路讲解，有兴趣可以去考古。