上一节已知,任意的协向量都可以写成对偶基向量的线性组合,以及如何通过计算基向量穿过的协向量线来获得协向量分量,且看到 协向量分量 以 与向量分量 相反的方式进行变换。
现要在数学上确认协向量变换规则是什么。
第一件事:弄清协向量本身是怎么转换的,
使用向量以便从旧基中获取新基,用旧基构建新基,这就是前向变换,
现对协向量也同样如此,
这里的Q是多少呢???
为计算出Q,
首先将与e1进行相乘, 即 该方程的左右两边同时右乘e1,
得到:
而, 故有:
类似的,
于是得到:
鉴于此,进行 后向转换。 以便可根据新的基向量写出旧的基向量。
把 这两个方程 代入到上面 那个方程。
于是我们就能得到,如何通过旧的对偶基向量, 表达新的对偶基向量,
同样的道理,可以通过该方式,计算得到:
对比系数:
这意味着,从旧的对偶基向量 到 新的对偶基向量,可以使用 后向转换。
接下来,尝试证明对于所有维度:
前提设置:
双基的定义:
前向转换 和 后向转换(Forward、 Backward):
另外,前向转换和后向转换是互逆的:
开始
当 j ≠ l 时,, 故可以用代替,
理解:中的l全部代入, 当 j ≠ l 时,,仅,1省略不写,
变为,再结束l这个求和项。得到的最后一个式子,最后一个式子的左边就是一个单位阵E,即右边两个东西互逆,而F与B又是互逆的,等量代换,。
所以,就是使用反向转换(Backward)使得 从旧对偶基 到 新对偶基。
现在,就可以明白为什么视频的老师 把协向量的索引 写在顶部, 因为它们的变换与基向量的方式相反。
基向量 和 协向量 的变换规则 总结:
现已知 基向量的转换方式, 想弄清它们的分量如何转换就比较容易,
将某一协向量α写成 旧基协向量的线性组合,
将最后一个等式 与 上面那个线性组合进行比较,
同样地,
注意,是以向量那个为本,其他的转换方式都与向量的来进行比较, 反就弄上标,同就下标。
Contravariant---逆变的,反变的。
Covariant 协变的,共变式。