Codeforces Round 846 (Div. 2) E. Josuke and Complete Graph 详解 数论分块

题目大意

题意来源

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解题思路

• 首先我们假设存在 x x x满足 a , b ∈ l , r , g c d ( a , b ) = x a,b\inl,r,gcd(a,b)=x a,b∈l,r,gcd(a,b)=x
• 那么肯定 g c d ( ⌊ a / x ⌋ , ⌊ b / x ⌋ ) = 1 就是互质 gcd(\lfloor a/x \rfloor, \lfloor b/x \rfloor)=1就是互质 gcd(⌊a/x⌋,⌊b/x⌋)=1就是互质
• 假设 a < b a<b a<b
• 那么 b 最小可以取 = ( ⌊ a / x ⌋ + 1 ) ∗ x b最小可以取 = (\lfloor a/x \rfloor +1)*x b最小可以取=(⌊a/x⌋+1)∗x 因为 ( ⌊ a / x ⌋ + 1 ) 和 ⌊ a / x ⌋ (\lfloor a/x \rfloor +1) 和 \lfloor a/x \rfloor (⌊a/x⌋+1)和⌊a/x⌋肯定互质
• 那么我们可以贪心的找两个最小的倍数，就是 k x 和 ( k + 1 ) x ∈ l , r kx和(k+1)x\inl,r kx和(k+1)x∈l,r
• 那么分类讨论一下
• • 如果 x ∈ l , r x\inl,r x∈l,r那么只要 x , 2 x ∈ l , r x,2x\inl,r x,2x∈l,r即可
• • 如果 x < l x<l x<l那么就是公式 k x ≥ l & & ( k + 1 ) x ≤ r kx\geq l \&\&(k+1)x\leq r kx≥l&&(k+1)x≤r
• • 那么根据贪心对于同一个 x x x,最小的 k = ⌈ l / x ⌉ k=\lceil l/x \rceil k=⌈l/x⌉,那么 x ≤ r / ( ⌈ l / x ⌉ + 1 ) x\leq r/(\lceil l/x \rceil+1) x≤r/(⌈l/x⌉+1)
• • 看到上面的向上取整，我们可以想到算法数论分块，因为对于同一个范围内的 x x x,这个最小的k值都是固定的
• • 现在把 ⌈ l / x ⌉ = ⌊ ( l − 1 ) / x + 1 ⌋ \lceil l/x \rceil = \lfloor (l-1)/x+1\rfloor ⌈l/x⌉=⌊(l−1)/x+1⌋就可以带入数论分块了
• • x ≤ r / ( ⌊ ( l − 1 ) / x + 1 ⌋ + 1 ) x\leq r/(\lfloor (l-1)/x+1\rfloor+1) x≤r/(⌊(l−1)/x+1⌋+1)

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 3005;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
const ll mod = 998244353;
vector<int> arr;
ll sum, pre;
int main() {
    // freopen("1.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T --) {
        ll l,r;
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
		ll ans = max(0ll,r/2-l+1);
		for(ll L = 1, R = 1; L < l; L = R + 1)	{
			ll num = (l-1)/L;
			R = min((l-1)/num,l-1); // 数论分块的右边界
			ll now = r/(num+2); // 上面不等式的右边
			// printf("now = %lld ans = %lld L = %lld R = %lld\n",now,ans,L,R);
			if(now >= L) ans += (min(now,R)-L+1);

		}
		printf("%lld\n",ans);
    } 
    return 0;
}