1.简介
exgcd的目的是表示出二元一次不定方程的通解。
形式化地，exgcd算法就是输入a，b，c的值，返回一组x，y，满足 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c。
2.1方程无整数解的情况
- 当 c 不能被 a ，b最小公倍数的整除时候，方程无整数解。反之，有整数解。（此条性质又名裴蜀定理）。
2.2把求解 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c转化为求解 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)
- a x + b y = c ax + by = c ax+by=c ，则 2 a x + 2 b y = 2 c ， n a x + n b y = n c 2ax + 2by = 2c，nax+nby = nc 2ax+2by=2c，nax+nby=nc。
- a x + b y = c ax + by = c ax+by=c 对应的解 是 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by = gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)的解的整数倍，更具体一些是 c / g c d ( a , b ) c / gcd(a,b) c/gcd(a,b)倍
所以，只需要找到 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by = gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b) 的解，将其乘以 c / g c d ( a , b ) c / gcd(a,b) c/gcd(a,b)，就找到了
2.3 求解方程 a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b) ax+by=gcd(a,b)
先人给出了几个神秘的黑色箱子，丢入a，b，c，就吐出满足 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c的一组x，y。
2.3.1 黑箱a(用lamdba语法)
cpp
int x,y;
auto exgcd = [&](auto &&self,int a,int b) -> void
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
self(self,b,a%b);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
};
exgcd(exgcd,a,b);//运行完此行，x，y就已经存的是合法值了2.3.1 黑箱b（没有lambda）
cpp
// 不想&x,&y可以开全局变量
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
return d;//返回值d是顺带求出的gcd(a,b)
}写个4~5道就背住了。
有兴趣看看证明
做完题目就会发现，题目不涉及证明，不涉及黑箱种类，但本文中的通过代码只给了黑箱a的
2.4 题目仅需任意一组合法解（特解）
cpp
x *= c/__gcd(a,b)，y *= c / __gcd(a,b) //把倍数乘回去，现在就是真·特解了任意一组，直接输出exgcd算法求出来的这组即可。
2.5题目需要满足 x > m x>m x>m的最小解（通解）
为了大于x的最小解，我们需要先求出特解，再增大(减小)x，减小(增大)y，使得等式仍然成立，且x恰好大于m。
观察得到如下性质：
记 x 1 , y 1 x_1,y_1 x1,y1是exgcd算法返回的解
- 若 a ( x 1 + t x ) + b ( y 1 + t y ) = c a(x_1+t_x) + b(y_1+t_y) = c a(x1+tx)+b(y1+ty)=c，则 t x a = − t y b t_xa = -t_yb txa=−tyb
所以，当 x 2 = x 1 + k b g c d ( a , b ) ， y 2 = y 1 − k a g c d ( a , b ) , x_2 = x_1 + k\frac{b} {gcd(a,b)} ，y_2 = y_1 - k\frac{a} {gcd(a,b)}, x2=x1+kgcd(a,b)b，y2=y1−kgcd(a,b)a, k为整数，时，仍然有 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c
可以回带验证。
那么，找出 x 1 x_1 x1加减多少个 b g c d ( a , b ) \frac{b} {gcd(a,b)} gcd(a,b)b恰好大于m,也就找到了 x > m x>m x>m的最小解
其实这个过程是在求通解。
cpp
int d = __gcd(a,b),tx = b/d,ty = a/d;
int k;
if(tx > 0) k = ceil((m-x)/tx);
else k = floor((m-x)/tx);
x += tx*k;
y -= ty*k;3.模板题
P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
题目描述
给定不定方程
a x + b y = c ax+by=c ax+by=c
若该方程无整数解，输出 − 1 -1 −1。
若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其正整数 解的数量，所有正整数 解中 x x x 的最小值，所有正整数 解中 y y y 的最小值，所有正整数 解中 x x x 的最大值，以及所有正整数 解中 y y y 的最大值。
若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有整数解 中 x x x 的最小正整数值， y y y 的最小正整数值。
正整数解即为 x , y x, y x,y 均为正整数的解， 0 \boldsymbol{0} 0 不是正整数 。
整数解即为 x , y x,y x,y 均为整数的解。
x x x 的最小正整数值即所有 x x x 为正整数的整数解中 x x x 的最小值， y y y 同理。
输入格式
第一行一个正整数 T T T，代表数据组数。
接下来 T T T 行，每行三个由空格隔开的正整数 a , b , c a, b, c a,b,c。
输出格式
T T T 行。
若该行对应的询问无整数解，一个数字 − 1 -1 −1。
若该行对应的询问有整数解但无正整数解，包含 2 2 2 个由空格隔开的数字，依次代表整数解中， x x x 的最小正整数值， y y y 的最小正整数值。
否则包含 5 5 5 个由空格隔开的数字，依次代表正整数解的数量，正整数解中， x x x 的最小值， y y y 的最小值， x x x 的最大值， y y y 的最大值。
输入输出样例 #1
输入 #1
7
2 11 100
3 18 6
192 608 17
19 2 60817
11 45 14
19 19 810
98 76 5432输出 #1
4 6 2 39 8
2 1
-1
1600 1 18 3199 30399
34 3
-1
2 12 7 50 56说明/提示
【数据范围】
对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ T ≤ 2 × 10 5 1 \le T \le 2 \times {10}^5 1≤T≤2×105， 1 ≤ a , b , c ≤ 10 9 1 \le a, b, c \le {10}^9 1≤a,b,c≤109。
【本博客额外提示】
- 注意爆 int 的问题，使用long long 类型
思路：
- 正整数解中x的最小值，就是 x > 0 的最小值
- x 最大时 y最小，x最小时y最大
通过代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
void solve()
{
int x,y;
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
int d = __gcd(a,b);
if(c % d != 0)
{
cout << -1 << '\n';
return;
}
auto exgcd = [&](auto &&self,int a,int b)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
self(self,b,a%b);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b*y;
};
exgcd(exgcd,a,b);
x = x * c / d,y = y * c / d;
int tx = b/d,ty = a/d;
int k = ceil((1.0-x)/tx);
x += tx*k;
y -= ty*k;
if(y <= 0)
{
int ymin=y+ty*ceil((1.0-y)/ty);
cout << x << ' ' << ymin << '\n';
}
else
{
cout << (y-1)/ty + 1 <<' ' << x << ' ' << (y - 1) % ty + 1 << ' ' << x + (y-1)/ty *tx << ' ' << y << '\n';
}
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int t;
cin >> t;
while(t --) solve();
return 0;
}4.练习
[2022CCPC哈尔滨E]
[2022ICPC杭州A]
[2023湖北I]
[CF927G]
[2023ICPC网络赛(1) K]