LeetCode 2894. 分类求和并作差【数学,容斥原理】1140

本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。

为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。

由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。

给你两个正整数 n 和 m 。

现定义两个整数 num1 和 num2 ，如下所示：

num1：范围 [1, n] 内所有 无法被 m 整除的整数之和。
num2：范围 [1, n] 内所有 能够被 m 整除的整数之和。

返回整数 num1 - num2 。

示例 1：

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输入：n = 10, m = 3
输出：19
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 10] 内无法被 3 整除的整数为 [1,2,4,5,7,8,10] ，num1 = 这些整数之和 = 37 。
- 范围 [1, 10] 内能够被 3 整除的整数为 [3,6,9] ，num2 = 这些整数之和 = 18 。
返回 37 - 18 = 19 作为答案。

示例 2：

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输入：n = 5, m = 6
输出：15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 6 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num1 = 这些整数之和 =  15 。
- 范围 [1, 5] 内能够被 6 整除的整数为 [] ，num2 = 这些整数之和 = 0 。
返回 15 - 0 = 15 作为答案。

示例 3：

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输入：n = 5, m = 1
输出：-15
解释：在这个示例中：
- 范围 [1, 5] 内无法被 1 整除的整数为 [] ，num1 = 这些整数之和 = 0 。 
- 范围 [1, 5] 内能够被 1 整除的整数为 [1,2,3,4,5] ，num2 = 这些整数之和 = 15 。
返回 0 - 15 = -15 作为答案。

提示：

1 <= n, m <= 1000

解法容斥原理

设 k = ⌊ n m ⌋ k = \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor k=⌊mn⌋ 。 num 2 \textit{num}_2 num2 是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 内的 m m m 的倍数之和，即
m + 2 m + ⋯ + k m = ( 1 + 2 + ⋯ + k ) ⋅ m = k ( k + 1 ) 2 ⋅ m \begin{aligned} &m + 2m + \cdots + km\\ =\ & (1+2+\cdots+k)\cdot m\\ =\ & \dfrac{k(k+1)}{2}\cdot m \end{aligned} = = m+2m+⋯+km(1+2+⋯+k)⋅m2k(k+1)⋅m
num 1 \textit{num}_1 num1 相当于 ( 1 + 2 + ⋯ + n ) − num 2 (1+2+\cdots+n) - \textit{num}_2 (1+2+⋯+n)−num2

所以
num 1 − num 2 = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) − num 2 ⋅ 2 = n ( n + 1 ) 2 − k ( k + 1 ) m \begin{aligned} &\textit{num}_1 - \textit{num}_2\\ =\ & (1+2+\cdots+n) - \textit{num}_2 \cdot 2\\ =\ & \dfrac{n(n+1)}{2} - k(k+1)m \end{aligned} = = num1−num2(1+2+⋯+n)−num2⋅22n(n+1)−k(k+1)m

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int differenceOfSums(int n, int m) {
        return n * (n + 1) / 2 - n / m * (n / m + 1) * m;
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度： O ( 1 ) \mathcal{O}(1) O(1) 。
空间复杂度： O ( 1 ) \mathcal{O}(1) O(1) 。

LeetCode 2894. 分类求和并作差【数学,容斥原理】1140

解法 容斥原理

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