【数据结构】数组和字符串(二):特殊矩阵的压缩存储:对角矩阵——一维数组

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4.2.1 矩阵的数组表示

【数据结构】数组和字符串(一):矩阵的数组表示

4.2.2 特殊矩阵的压缩存储

矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵,如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储,会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况,这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法(程序)运行时间,通常会采用压缩存储的方法。

  • 对角矩阵:指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵,即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n),都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素,只需存储主对角线上的元素即可。
  • 三角矩阵:指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地,只需存储其中一部分非零元素,可以节省存储空间。
  • 对称矩阵:指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律,可以只存储其中一部分元素,从而减少存储空间。
  • 稀疏矩阵:指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素,因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有:压缩稠密行(CSR)、压缩稠密列(CSC)、坐标列表(COO)等。

a. 对角矩阵的压缩存储

对于一个n×n维的对角矩阵M,由于非主对角线上的元素都为零,只需存储其n个对角元素的值即可。可以使用一维数组d[n]来压缩存储对角矩阵,其中d[i-1] (1≤ i ≤ n)存储M(i, i)的值。这种压缩存储方式可以显著减少存储空间的使用量,尤其在矩阵规模较大时效果更为明显。同时,在对角矩阵的运算中,由于非主对角线上的元素都为零,可以通过直接访问压缩后的数据来提高算法的效率。

结构体

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typedef struct {
    int size;       // 矩阵的维度
    int diagonal[MAX_SIZE];  // 存储对角元素的数组
} DiagonalMatrix;

DiagonalMatrix 结构体定义了对角矩阵的结构,包括矩阵的维度 size 和存储对角元素的数组 diagonal

初始化

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void initialize(DiagonalMatrix *matrix, int size) {
    matrix->size = size;

    // 初始化对角元素数组
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        matrix->diagonal[i] = 0;
    }
}

initialize 函数用于初始化对角矩阵,接受一个指向 DiagonalMatrix 结构体的指针和矩阵的维度作为参数,在函数内部将矩阵的维度存储到 size 成员变量中,并将对角元素数组的所有元素初始化为0。

元素设置

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void setElement(DiagonalMatrix *matrix, int row, int col, int value) {
    if (row != col) {
        printf("Error: Only diagonal elements can be set.\n");
    } else if (row < 0 || row >= matrix->size || col < 0 || col >= matrix->size) {
        printf("Error: Invalid row or column index.\n");
    } else {
        matrix->diagonal[row] = value;
    }
}

setElement 函数用于设置对角矩阵中指定位置的元素值,接受一个指向 DiagonalMatrix 结构体的指针、行索引、列索引和要设置的值作为参数。

  • 函数首先检查行索引和列索引是否相等,因为只有对角线上的元素可以被设置。
  • 检查行索引和列索引是否有效,即在矩阵范围内。
  • 如果通过了检查,将指定位置的对角元素设置为给定的值。

元素获取

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int getElement(DiagonalMatrix *matrix, int row, int col) {
    if (row < 0 || row >= matrix->size || col < 0 || col >= matrix->size) {
        printf("Error: Invalid row or column index.\n");
        return 0;
    } else if (row != col) {
        return 0;
    } else {
        return matrix->diagonal[row];
    }
}

getElement 函数用于获取对角矩阵中指定位置的元素值,接受一个指向 DiagonalMatrix 结构体的指针、行索引和列索引作为参数。

  • 函数首先检查行索引和列索引是否有效,如果无效则打印错误信息并返回0。、
  • 然后再次检查行索引和列索引是否相等,如果不相等则表示该位置不是对角元素,返回0。
  • 如果通过了检查,返回指定位置的对角元素的值。

打印矩阵

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void printMatrix(DiagonalMatrix *matrix) {
    for (int i = 0; i < matrix->size; i++) {
        for (int j = 0; j < matrix->size; j++) {
            printf("%d ", getElement(matrix,i,j));
        }
        printf("\n");
    }
}

printMatrix 函数用于打印对角矩阵,接受一个指向 DiagonalMatrix 结构体的指针作为参数。函数通过两层循环遍历矩阵的每个位置,调用getElement 函数获取并打印元素的值。

主函数

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int main() {
    DiagonalMatrix matrix;
    int size = 6;

    initialize(&matrix, size);
    // 读入数据并设置对角矩阵的元素
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        int value;
        printf("\nEnter the value for element [%d][%d]: ", i, i);
        scanf("%d", &value);
        setElement(&matrix, i, i, value);
    }

    printf("Diagonal Matrix:\n");
    printMatrix(&matrix);
    return 0;
}

main 函数中,首先定义了一个 DiagonalMatrix 类型的变量 matrix 和一个整数变量 size。然后调用 initialize 函数初始化矩阵,将矩阵的维度设置为4,并将对角元素分别设置为1、2、3和4。最后使用 printMatrix 函数打印矩阵。

输出结果

代码整合

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#include <stdio.h>

#define MAX_SIZE 100

// 定义对角矩阵结构体
typedef struct {
    int size;       // 矩阵的维度
    int diagonal[MAX_SIZE];  // 存储对角元素的数组
} DiagonalMatrix;

// 初始化对角矩阵
void initialize(DiagonalMatrix *matrix, int size) {
    matrix->size = size;

    // 初始化对角元素数组
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        matrix->diagonal[i] = 0;
    }
}

// 设置对角矩阵中指定位置的元素值
void setElement(DiagonalMatrix *matrix, int row, int col, int value) {
    if (row != col) {
        printf("Error: Only diagonal elements can be set.\n");
    } else if (row < 0 || row >= matrix->size || col < 0 || col >= matrix->size) {
        printf("Error: Invalid row or column index.\n");
    } else {
        matrix->diagonal[row] = value;
    }
}

// 获取对角矩阵中指定位置的元素值
int getElement(DiagonalMatrix *matrix, int row, int col) {
    if (row < 0 || row >= matrix->size || col < 0 || col >= matrix->size) {
        printf("Error: Invalid row or column index.\n");
        return 0;
    } else if (row != col) {
        return 0;
    } else {
        return matrix->diagonal[row];
    }
}

// 打印对角矩阵
void printMatrix(DiagonalMatrix *matrix) {
    for (int i = 0; i < matrix->size; i++) {
        for (int j = 0; j < matrix->size; j++) {
            printf("%d ", getElement(matrix,i,j));
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    DiagonalMatrix matrix;
    int size = 6;

    initialize(&matrix, size);
    // 读入数据并设置对角矩阵的元素
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        int value;
        printf("\nEnter the value for element [%d][%d]: ", i, i);
        scanf("%d", &value);
        setElement(&matrix, i, i, value);
    }

    printf("Diagonal Matrix:\n");
    printMatrix(&matrix);
    return 0;
}
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