保姆级认识AVL树【C++】（精讲：AVL Insert）

花果山~~程序猿2023-10-28 13:40

目录

前言

一，概念

二，定义

三，insert

[1. 插入情况](#1. 插入情况)

情况一：

情况二：

情况三：

[2. 旋转方法](#2. 旋转方法)

法一：左单旋法

法二：右单旋法

法三：先左后右双旋法

法四：先右后左双旋法

测试（判断一棵树是否是AVL树）

代码如下：

[3. 随机值案例](#3. 随机值案例)

四，删除

前言

map,set这两个容器有个共同点是： 其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

搜索二叉树 请查看本篇博文：【C++】搜索二叉树底层实现_花果山~程序猿的博客-CSDN博客

一，概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法： 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过 1 (-1/0/1)（AVL树不一定用平衡因子进行实现）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log_2 n)，搜索时间复杂度O(log_2 n)。

二，定义

为方便循序渐进的学习，这里只放最出初始的树结点定义。

cpp 复制代码 
template <class K, class V>
class AVL_Data
{
public:
	pair<K, V> _kv;
	AVL_Data<K, V>* left = nullptr;
	AVL_Data<K, V>* right = nullptr;
	AVL_Data<K, V>* parent = nullptr;
	int _bf = 0; // ballance factor

	AVL_Data(const pair<K, V>& p)
		:_kv(p)
	{}

};

上面定义在后面会进行完善修改。

三，insert

根据前面搜索二叉树的经验我们能快速写完插入函数，但AVL树是特殊的搜索二叉树，我们需要对树的高度进行调整。那么我们插入时就会遇到三种情况：

1. 插入情况

情况一：

情况二：

情况三：

代码实现如下：

cpp 复制代码 
template <class K, class V>
class AVL_Tree
{
	typedef AVL_Data<K, V>  AVL_Data;

	AVL_Data* root = nullptr;

public:
	bool insert(const pair<K, V>& p)
	{
		AVL_Data* new_a_d = new AVL_Data(p);
		if (!root)
		{
			root = new_a_d;
		}
		else
		{
			AVL_Data* cur = root;
			AVL_Data* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (p.first < cur->_kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->left;
				}
				else if (p.first > cur->_kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->right;
				}
				else
				{
					delete(new_a_d); // 插入失败，删除新建结点
					return false;
				}
			}

			if (p.first < parent->_kv.first)
			{
				parent->left = new_a_d;
			}
			else
			{
				parent->right = new_a_d;
			}
			new_a_d->parent = parent;

			cur = new_a_d;
			//完成插入，进行平衡
			while (parent)
			{   // 插入，修改parent平衡因子
				if (cur == parent->right)
				{
					parent->_bf++;
				}
				else
				{
					parent->_bf--;
				}

				// 判断parent平衡因子是否是0，如果非0则需要向祖先更新平衡因子
				if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = parent->parent;
				}
				else if (parent->_bf == 0)
				{
					break;
				}
				else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{ 
					// 处理绝对值大于1,下面代码目的是记录未修改的平衡因子。
					// 需要旋转处理，这个我们下面再讲
					cur = parent;
					parent = parent->parent;
				}
				else
				{
					// 出现其他情况，在插入时这棵AVL树本身就是异常AVL树
					assert(false);
				}
			}
			return true;
		}
		
	}
};

2. 旋转方法

法一：左单旋法

我们以下面图为讲解例子，a,b,c表示的是子树。

h 表示子树的高度。

请看下面场景:

h = 3, 4...组合方式会更多，这里画出图没什么意义，问题是失去平衡我们如何解决？？

通过下面方法解决：

总结：

  1. 右边高，则向左旋转。

  2. C树发生插入，平衡因子发生改变，进而发生旋转。

cpp 复制代码 
void RotateL(AVL_Data* parent)
	{
		assert(parent->right);
		AVL_Data* par = parent;
		AVL_Data* par_R = par->right;
		AVL_Data* par_RL = par->right->left;
		AVL_Data* ppnode = par->parent;

		par->right = par_RL;
		if (par_RL)
		par_RL->parent = par;

		par_R->left = par;
		par->parent = par_R;
		par_R->parent = ppnode;

		if (!ppnode)
		{
			root = par_R;
		}
		else if (ppnode->left == par)
		{
			ppnode->left = par_R;
		}
		else
		{
			ppnode->right = par_R;
		}
		
		par->_bf = 0;
		par_R->_bf = 0;
	}

// 实验例子
    AVL_Tree<int, string> tree;
	tree.insert(make_pair(30 , "李四"));
	tree.insert(make_pair(20, "二麻子"));
	tree.insert(make_pair(60, "张三"));
	tree.insert(make_pair(45, "王五"));
	tree.insert(make_pair(75, "王五"));
	tree.insert(make_pair(65, "王五"));

法二：右单旋法

思路跟左旋法差不多，图像是相反，这里就只给场景解法模板：

h = 0, 1, 2的发生场景：

学会了法一自然会了法二：

cpp 复制代码 
void RotateR(AVL_Data* parent)
	{
		assert(parent->left);
		AVL_Data* par = parent;
		AVL_Data* par_L = par->left;
		AVL_Data* par_LR = par->left->right;
		AVL_Data* ppnode = par->parent;

		par->left = par_LR;
		if (par_LR)
			par_LR->parent = par;

		par_L->right = par;
		par->parent = par_L;
		par_L->parent = ppnode;

		if (!ppnode)
		{
			root = par_L;
		}
		else if (ppnode->left == par)
		{
			ppnode->left = par_L;
		}
		else
		{
			ppnode->right = par_L;
		}

		par->_bf = 0;
		par_L->_bf = 0;
	}

法三：先左后右双旋法

跟单旋一样，我们首先展示，当h = 0，1，2时需要左右双旋处理的场景。

双旋法步骤变化流程，如下：

从结果来看，就是将60这个位置推上去置于"根"。

代码如下：

cpp 复制代码 
void RotateLR(AVL_Data* parent)
	{
		assert(parent->left);
		AVL_Data* par = parent;
		AVL_Data* par_L = par->left;
		AVL_Data* par_LR = par->left->right;
		AVL_Data* ppnode = par->parent;

		int par_LR_bf = par_LR->_bf;

		RotateL(par_L);
		RotateR(par);

		if (par_LR_bf == -1)
		{
			par->_bf = 1;
			par_L->_bf = 0;
		}
		else if (par_LR_bf == 1)
		{
			par->_bf = 0;
			par_L->_bf = -1;
		}
		else if (par_LR_bf == 0)
		{
			par->_bf = 0;
			par_L->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		par_LR->_bf = 0;
	}

// 测试案例
void Test_insert_L()
{
	AVL_Tree<int, string> tree;
	tree.insert(make_pair(90, "李四"));
	tree.insert(make_pair(30, "二麻子"));
	tree.insert(make_pair(100, "张三"));
	tree.insert(make_pair(25, "王五"));
	tree.insert(make_pair(60, "王五"));
	tree.insert(make_pair(50, "王五"));
}

法四：先右后左双旋法

我们学会法三后，照葫芦画瓢即可。

各场景：

代码：

cpp 复制代码 
void RotateRL(AVL_Data* parent)
	{
		assert(parent->right);
		AVL_Data* par = parent;
		AVL_Data* par_R = par->right;
		AVL_Data* par_RL = par->right->left;
		AVL_Data* ppnode = par->parent;

		int par_RL_bf = par_RL->_bf;

		RotateR(par_R);
		RotateL(par);

		if (par_RL_bf == -1)
		{
			par->_bf = 0;
			par_R->_bf = 1;
		}
		else if (par_RL_bf == 1)
		{
			par->_bf = -1;
			par_R->_bf = 0;
		}
		else if (par_RL_bf == 0)
		{
			par->_bf = 0;
			par_R->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		par_RL->_bf = 0;
	}

// 测试案例
void Test_insert_L()
{
	AVL_Tree<int, string> tree;
	tree.insert(make_pair(30, "李四"));
	tree.insert(make_pair(20, "二麻子"));
	tree.insert(make_pair(90, "张三"));
	tree.insert(make_pair(15, "王五"));
	tree.insert(make_pair(60, "王五"));
	tree.insert(make_pair(100, "王五"));
	tree.insert(make_pair(55, "王五"));
	tree.insert(make_pair(67, "王五"));
	tree.insert(make_pair(95, "王五"));
	tree.insert(make_pair(50, "王五"));
}

测试（判断一棵树是否是AVL树）

思路：

  1. 检查高度（AVL中每棵子树都是AVL树）。

  2. 检查平衡因子是否正确。

代码如下：
cpp 复制代码 
    int Hight(const AVL_Data* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int left_H = Hight(root->left);
		int left_R = Hight(root->right);
		return left_H >= left_R ? left_H + 1 : left_R + 1;
	}

    bool B_balance()
	{
		return _B_balance(root);
	}
	
	bool _B_balance(const AVL_Data* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int left_root = Hight(root->left);
		int right_root = Hight(root->right);


		if ((right_root - left_root) != root->_bf) // 利用Hight，进行平衡因子判断
			return false; 

		return abs(left_root - right_root) < 2 && _B_balance(root->left) && _B_balance(root->right);
	}

3. 随机值案例

用这个代码多跑几次，差不多能遍历所有环境。

cpp 复制代码 
void Random_Test()
{
	srand(time(0));
	const size_t N = 10000000;
	AVL_Tree<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		size_t x = rand();
		t.insert(make_pair(x, x));
	}

	cout << t.B_balance() << endl;
}

快来测试自己的代码吧

insert全代码

cpp 复制代码 
bool insert(const pair<K, V>& p)
	{
		AVL_Data* new_a_d = new AVL_Data(p);
		if (!root)
		{
			root = new_a_d;
		}
		else
		{
			AVL_Data* cur = root;
			AVL_Data* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (p.first < cur->_kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->left;
				}
				else if (p.first > cur->_kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->right;
				}
				else
				{
					delete(new_a_d); // 插入失败，删除新建结点
					return false;
				}
			}

			if (p.first < parent->_kv.first)
			{
				parent->left = new_a_d;
			}
			else
			{
				parent->right = new_a_d;
			}
			new_a_d->parent = parent;

			cur = new_a_d;
			//完成插入，进行平衡
			while (parent)
			{   // 插入，修改parent平衡因子
				if (cur == parent->right)
				{
					parent->_bf++;
				}
				else
				{
					parent->_bf--;
				}

				// 判断parent平衡因子是否是0，如果非0则需要向祖先更新平衡因子
				if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = parent->parent;	
				}
				else if (parent->_bf == 0)
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
				{
					if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateL(parent);
						// cout << "RotateL" << endl;
					}
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent);
						// cout << "RotateR" << endl;
					}
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateLR(parent);
						// cout << "RotateLR" << endl;
					}
					else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateRL(parent);
						// cout << "RotateRL" << endl;
					}
					else
					{
						// 出现其他情况，在插入时这棵AVL树本身就是异常AVL树
						// 问题出现在旋转方法
						assert(false);
					}
					break;
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}
			return true;
		}
	}

四，删除

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不 错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。 具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

下期预告： 红黑树！！！

结语

本小节就到这里了，感谢小伙伴的浏览，如果有什么建议，欢迎在评论区评论，如果给小伙伴带来一些收获请留下你的小赞，你的点赞和关注将会成为博主创作的动力。

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