C++排序、前缀和算法的应用：英雄的力量

本文涉及的基础知识点

排序

题目

英雄的力量

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄，这组英雄的力量定义为：

i0 ，i1 ，... ik 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 max(nums $i0$ ,nums $i1$ ... nums $ik$ )2 * min(nums $i0$ ,nums $i1$ ... nums $ik$ ) 。

请你返回所有可能的非空英雄组的力量之和。由于答案可能非常大，请你将结果对 109 + 7 取余。

示例 1：

输入：nums = $2,1,4$

输出：141

解释：

第 1 组： $2$ 的力量为 22 * 2 = 8 。

第 2 组： $1$ 的力量为 12 * 1 = 1 。

第 3 组： $4$ 的力量为 42 * 4 = 64 。

第 4 组： $2,1$ 的力量为 22 * 1 = 4 。

第 5 组： $2,4$ 的力量为 42 * 2 = 32 。

第 6 组： $1,4$ 的力量为 42 * 1 = 16 。

第? ???7 组： $2,1,4$ 的力量为 42??? * 1 = 16 。

所有英雄组的力量之和为 8 + 1 + 64 + 4 + 32 + 16 + 16 = 141 。

示例 2：

输入：nums = $1,1,1$

输出：7

解释：总共有 7 个英雄组，每一组的力量都是 1 。所以所有英雄组的力量之和为 7 。
参数范围 ：

1 <= nums.length <= 105

1 <= nums $i$ <= 109

分析

时间复杂度

排序O(nlogn)，枚举结尾O(n)，故总复杂度O(nlogn+n)

原理

英雄的选择有三种方式：一，子数组，选择部分元素，选择的元素必须连续。二，子系列，选择部分元素，这些元素不需要连续，但必须保持原来的顺序。三，任意选择。第三种情况，排序不影响结果，可以大大简化问题。

排序后，枚举结尾。只选择一个英雄，比较简单，不赘述。下表以能力分别为1,2,3,4的4个英雄来说明，选择两个及更多英雄的情况。


{1,2}
{1,3}{1,2,3}	{2,3}
{1,4}{1,2,4},{1,3,4}{1,2,3,4}	{2,4},{2,3,4}	{3,4}

观察上表。


最小值索引为0，最大致索引为i(i>0)的数量为	2 ^( i-1) (1,2,4)
最小值索引为1，最大致索引为i(i>1)的数量为	2 ^( i-2) (1,2)
...
也就是i+1，biPrePre 乘以2。
除最小、最大元素外，中间x个元素可以选择和不选择，故共有2 ^ x 种选择，x等于0也符合。

核心代码

template

class C1097Int

{

public:

C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)

{

}

C1097Int operator+(const C1097Int& o)const

{

return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);

}

C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;

return this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator (const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator =(const C1097Int& o)

{

m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;

return *this;

}

bool operator<(const C1097Int& o)const

{

return m_iData < o.m_iData;

}

C1097Int pow(long long n)const

{

C1097Int iRet = 1, iCur = *this;

while (n)

{

if (n & 1)

{

iRet *= iCur;

}

iCur *= iCur;

n >>= 1;

}

return iRet;

}

C1097Int PowNegative1()const

{

return pow(MOD - 2);

}

int ToInt()const

{

return m_iData;

}

private:

int m_iData = 0;;

};

class Solution {

public:

int sumOfPower(vector& nums) {

sort(nums.begin(), nums.end());

C1097Int<> biRet,biPrePre;

for (int i = 0; i < nums.size(); i++)

{

C1097Int<> self((long long)nums $i$ * nums $i$ );

biRet += self * nums $i$ ;//长度为1的串

biRet += self * biPrePre;

biPrePre *= 2;

biPrePre += nums $i$ ;

}

return biRet.ToInt();

}

};

测试用例

template

void Assert(const vector& v1, const vector& v2)

{

if (v1.size() != v2.size())

{

assert(false);

return;

}

for (int i = 0; i < v1.size(); i++)

{

assert(v1 $i$ == v2 $i$ );

}

template

void Assert(const T& t1, const T& t2)

{

assert(t1 == t2);

}

int main()

{

Solution slu;

vector nums ;

int res;

nums = { 2, 1, 4 };

res = slu.sumOfPower(nums);

Assert(141, res);

nums = { 1,1,1 };

res = slu.sumOfPower(nums);

Assert(7, res);

nums = { 1, 2, 3, 4, 6, 4, 3, 2 };

res = slu.sumOfPower(nums);

Assert(10636, res);

nums = { 1000000000,1000000000 };

res = slu.sumOfPower(nums);

Assert(999998978, res);

复制代码

//CConsole::Out(res);

}

5月旧代码

class Solution {

public:

int sumOfPower(vector& nums) {

std::sort(nums.begin(), nums.end());

C1097Int<> iPrePre,iPre,iRet;

for (const auto& n : nums)

{

iPrePre *= 2;

iPrePre += iPre;

iPre = n;

C1097Int<> iAdd = iPrePre + iPre;

iAdd *= n;

iRet += iAdd;

}

return iRet.ToInt();

}

};

扩展阅读

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闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
算法终将统治宇宙，而我们统治算法。《喜缺全书》

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

C++排序、前缀和算法的应用：英雄的力量

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