算法通关村第十三关黄金挑战——数论问题解析

大家好，我是怒码少年小码。

欧几里得算法

也叫辗转相除法。常常用于求两个数的最大公因数（gcd）。规则：若r是 a / b 的余数，则gcd(a,b) = gcd(b,r)

至于原理可以看这个视频教程：

https://www.bilibili.com/video/BV19r4y127fu/?share_source=copy_web\&vd_source=2a3492e7c7e00320005683fe2b41530e

还是没懂可以看这个文字介绍：

https://www.zhihu.com/question/51427771

这里就直接上代码了：

cpp 复制代码

int gcd(int a,int b){
  int k;
  do{
   k=a % b;
   a = b;
   b = k;
  }while(k !=0 )
  return a;
}

素数和合数

素数又称为质数，素数首先要满足大于等于2，并且除了1和它本身之外，不能被任何自然数整除，其他数都是合数。比较特殊的是1即非素数，也非合数。2是唯一的同时为偶数和素数的数字。

如何判断一个正整数为素数

基本的方式是从2开始依次与n取余测试，看看是否出现n%i == 0的情况，如果出现则说明当前的n能被i整除，所以就不是。从2开始遍历一直到n^(1/2)即可。（思考一下为什么？）

java 复制代码

public static boolean isPrime(int num) {
     int max = (int)Math.sqrt(num);
     for (int i = 2; i <= max; i++) {
         if (num % i == 0) {
             return false;
         }
     }
     return true;
 }

这个方法的性能不够，n很大时会超时。下面还有一种方式很有效。

埃式筛

如何使用埃式筛判断n之前的数字有多少个质数

基本思想：如果x是质数，那么大于x的xy的倍数 2x. 3x ...一定不是质数，可以从这一点入手。

首先，定义一个n大的数组保存有多少个质数。数组初始化全为1，表示每个位置上都是质数。

先选中数字2，2是素数，然后将2的倍数全部排除（在数组里将该位置标记为0）

接着选中数字3，3是素数，然后将3的倍数全部排除

接着选中数字5，5是素数，然后将5的倍数全部排除

接着选择7，11，13一直到n ...

最后在统计数组中1的个数就可以了。

java 复制代码

public static int countPrimes2(int n) {
    int[] isPrime = new int[n];
    Arrays.fill(isPrime,1);
    int ans = 0;
    for (int i = 2; i < n ;i++){
        if (isPrime[i] == 1){
            ans += 1;
            //开始排除倍数
            if ((long) i * i < n){
                for (int j = i* i ; j < n ; j += i){
                    isPrime[j] = 0;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

丑数问题

丑数：只包含质因子2、3和5的数。判断一个数是不是丑数。

思路分析：

根据丑数的定义，0和负整数一定不是丑数

当n > 0时，若 n 是丑数，则 n 可以写成 n = 2^a + 3^b + 5^c的形式，其中a,b,c都是非负整数。比如说，当a,b,c都是0时,n = 1

为了判断n 是否满足上述形式，可以对n反复除以2，3，5，直到n 不再包含质因数2,3,5。若剩下的数等于1，则说明n不包含其他质因数，是丑数；否则，说明n包含其他质因数，不是丑数。

java 复制代码

public boolean isUgly(int n){
  if(n <= 0){
    return false;
  }
  int[] factors = {2,3,5};
  for(int factor: factors){
    while( n % factor == 0){
    n /= factor;
    }
  }
  return n==1;
}