力扣370周赛 -- 第三题(树形DP)

该题的方法，也有点背包的意思，如果一些不懂的朋友，可以从背包的角度去理解该树形DP

问题

题解主要在注释里

//该题是背包问题+树形dp问题的结合版，在树上解决背包问题

//背包问题就是选或不选当前物品

//本题求的是最大分数

//先转成背包问题理解

//从n个物品当中选出最大分数

//再转成有限制版的

//从n个物品当中选出最大分数，并且血量是健康的

//再转成树形DP去理解该问题

//树是健康就是，在任意一条树的路径下(到叶子节点的任意一条路径)，能确保至少有一个物品不被选

//从树上前n个物品当中选出一些物品，并且保证树是健康的

//从树上前i个物品当中选出保证树是健康的前提下，能选出的不超过i个物品的最大分数

//然后再去拓展这个定义

//结合树形DP的经验

//以当前u为根节点的子树，在保证树是健康的前提下，能选出的最大分数

//那么就有了推导过程，从下往上推导，也就是从最小子树往上推导到最大子树最大分数

//那么最好的做法就是利用递归的特性，回溯的时候进行推导

//这题中我们直接找出最大分数，其实是比较难的，我们用初中的思想

//正难则反，既然找最大分数(有个不选的)比较难，那么我们可以用

//找个最小分数(选上的)，那么就变得比较简单了

//状态定义

//首先我们找最小的，以树形dp为经验推导出

//我们以u为根节点的子树，总和最小的分数（并且是保证健康的，在一条路径上最少也得选一个）

//定义为min_val $u$

//那么怎么算出最大分数呢，既然有min_val $u$ ,那么就有，以当前u为根节点的子树节点总和sum_val $u$

//那么相减sum_val $u$ - min_val $u$ 就等于最大分数了

//那么如何推导这两个定义的数组呢？

//树形dp类型问题，最好首先用dfs,边回溯边推导数组

cpp 复制代码

class Solution {
public:
 
    void dfs_sum_val(int u,int fa,vector<int>& val,vector<vector<int>>& g,vector<long long>& sum_val)
    {
         sum_val[u] = val[u];
         for(auto e:g[u])
           if(fa != e)//不要往上计算，我们是从下往上推导
           {
              dfs_sum_val(e,u,val,g,sum_val);
              //回溯计算
              sum_val[u] += sum_val[e];
           }
        
        //这个dfs我们可以算作一个小题，就是计算出每个点为根节点的子树的总和
    }

    void dfs_min_val(int u,int fa,vector<int>& val,vector<vector<int>>& g,vector<long long>& min_val)
    {
          long long min_res = 0;
          min_val[u] = (long long)val[u];

          for(auto& e:g[u])
          {
             if(fa != e)
             {
                 dfs_min_val(e,u,val,g,min_val);
                 min_res += min_val[e];
             }
          }
          if(min_res) min_val[u] = min((long long)min_val[u],min_res);
    }

    long long maximumScoreAfterOperations(vector<vector<int>>& edges, vector<int>& values) 
    {
         //该题是背包问题+树形dp问题的结合版，在树上解决背包问题
         //背包问题就是选或不选当前物品

         //本题求的是最大分数
         //先转成背包问题理解
         //从n个物品当中选出最大分数
         //再转成有限制版的
         //从n个物品当中选出最大分数，并且血量是健康的
         //再转成树形DP去理解该问题
         
         //树是健康就是，在任意一条树的路径下(到叶子节点的任意一条路径)，能确保至少有一个物品不被选
         //从树上前n个物品当中选出一些物品，并且保证树是健康的
         //从树上前i个物品当中选出保证树是健康的前提下，能选出的不超过i个物品的最大分数
         //然后再去拓展这个定义
          
         //结合树形DP的经验
         //以当前u为根节点的子树，在保证树是健康的前提下，能选出的最大分数
         //那么就有了推导过程，从下往上推导，也就是从最小子树往上推导到最大子树最大分数
         //那么最好的做法就是利用递归的特性，回溯的时候进行推导

         //这题中我们直接找出最大分数，其实是比较难的，我们用初中的思想
         //正难则反，既然找最大分数(有个不选的)比较难，那么我们可以用
         //找个最小分数(选上的)，那么就变得比较简单了
         
         //状态定义
         //首先我们找最小的，以树形dp为经验推导出
         //我们以u为根节点的子树，总和最小的分数（并且是保证健康的，在一条路径上最少也得选一个）
         //定义为min_val[u]
               
         //那么怎么算出最大分数呢，既然有min_val[u],那么就有，以当前u为根节点的子树节点总和sum_val[u]
         //那么相减sum_val[u] - min_val[u]就等于最大分数了
         
         //那么如何推导这两个定义的数组呢？
         //树形dp类型问题，最好首先用dfs,边回溯边推导数组
         
  
         int edge_size = edges.size();
         vector<vector<int>> g(values.size() + 110);
    
         for(int i = 0;i < edge_size;i++)
         {
             int a = edges[i][0];
             int b = edges[i][1];
             g[a].push_back(b);
             g[b].push_back(a);
         }

         vector<long long> sum_val(21000);
         vector<long long> min_val(21000,0x3f3f3f3f);
         //预处理出来sum_val数组
         dfs_sum_val(0,-1,values,g,sum_val);

         //预处理出来min_val数组
         dfs_min_val(0,-1,values,g,min_val);
         return sum_val[0] - min_val[0];
    }
};