例1.1：设 A = ( 1 0 2 1 ) A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} A=(1201) 求 A n A^n An
解： A 2 = ( 1 0 4 1 ) A^2=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix} A2=(1401) A 3 = ( 1 0 6 1 ) A^3=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix} A3=(1601) 我们可以推测 A n = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=(12n01)
如果是填空题直接写答案即可，如果是大题，还需要进行验证
猜想 A n = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=(12n01) n=1 时成立 当n>1 时，设公式对于n-1成立，则 A n = A n − 1 A = ( 1 0 2 ( n − 1 ) 1 ) ( 1 0 2 1 ) = ( 1 0 2 n 1 ) A^n=A^{n-1}A=\begin{pmatrix}1&0\\2(n-1)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix} An=An−1A=(12(n−1)01)(1201)=(12n01)
猜想正确
3.2 邻项相消法
临项相消法使用于AB矩阵乘积形式，如果BA简单易求，结果为对角矩阵或者是一个常数或者由题目已知，则可以先算BA 即 ( A B ) n = A B A B . . . A B = A ( B A ) ( B A ) . . . B (AB)^n=ABAB...AB=A(BA)(BA)...B (AB)n=ABAB...AB=A(BA)(BA)...B
例1.2 : 设 A = ( 1 1 1 ) A=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} A= 111 B = ( 1 2 3 ) B=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix} B=(123) 求 ( A B ) 10 (AB)^{10} (AB)10
A B = ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} AB= 111222333 BA=6 我们发现BA比AB更容易求,则我们优先计算BA
则我们 ( A B ) 10 = A B A B . . . A B = A ( B A ) （ B A ） . . B = 6 9 A B = 6 9 ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) (AB)^{10}=ABAB...AB=A(BA)（BA）..B=6^9AB=6^9\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix} (AB)10=ABAB...AB=A(BA)（BA）..B=69AB=69 111222333 $
A可对角化为对角矩阵B ( 5 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ) \begin{pmatrix}5&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} 5000−1000−1 则有 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B 则 A = P B P − 1 A=PBP^{-1} A=PBP−1
A k = P B P − 1 P B P − 1 . . . P B P − 1 = P B k P − 1 A^k=PBP^{-1}PBP^{-1}...PBP^{-1}=PB^kP^{-1} Ak=PBP−1PBP−1...PBP−1=PBkP−1 而 B k = ( 5 k 0 0 0 ( − 1 ) k 0 0 0 ( − 1 ) K ) B^k=\begin{pmatrix}5^k&0&0\\0&(-1)^k&0\\0&0&(-1)^K\end{pmatrix} Bk= 5k000(−1)k000(−1)K 进而求得A的k次方
例1.1 设A，C分别为m和n阶矩阵，求证矩阵M= ( O A C B ) \begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix} (OCAB) 可逆，并求其逆矩阵。
解：
4.3.2 等价替换
有时候可以直接从式子中得到我们要求的量的等价关系
例1.2 设方阵A满足 A 2 − 4 A − E = 0 A^2-4A-E=0 A2−4A−E=0,证明A以及4A+E是可逆的，并求各自的逆矩阵
解： A 2 − 4 A = E A^2-4A=E A2−4A=E 即 A （ A − 4 E ） = E A（A-4E）=E A（A−4E）=E 所以 A − 1 = A − 4 E A^{-1}=A-4E A−1=A−4E 由原式可知 4 A + E = A 2 4A+E=A^2 4A+E=A2
则有 （ 4 A + E ） − 1 = ( A 2 ) − 1 （4A+E）^{-1}=(A^{2})^{-1} （4A+E）−1=(A2)−1= = ( A − 1 ) 2 =(A^{-1})^{2} =(A−1)2= ( A − 4 E ) 2 (A-4E)^2 (A−4E)2 此题中我们可以得到要求的4A+E的逆相当于求A平方的逆，进而转换为我们要求的量
4.3.3 因式分解
如果我们有 A 2 − 3 A − 4 E = E A^2-3A-4E=E A2−3A−4E=E 求A+E的逆，我们可以很轻松的想到 ( A − 4 E ) ( A + E ) = E (A-4E)(A+E)=E (A−4E)(A+E)=E,自然我们也可以求得（A+E）的逆
那如果我们把E进行一个变化如都移在右边，或者在加减E，这时候求法依然一样。
例1.3 设A为n阶矩阵，设 A 2 = A A^2=A A2=A,证明 ( A + E ) − 1 (A+E)^{-1} (A+E)−1可逆并求逆矩阵
解： A 2 − A − 2 E = − 2 E A^2-A-2E=-2E A2−A−2E=−2E ( A − 2 E ) ( A + E ) = − 2 E (A-2E)(A+E)=-2E (A−2E)(A+E)=−2E − 1 2 ( A − 2 E ) ( A + E ) = E -\frac{1}{2}(A-2E)(A+E)=E −21(A−2E)(A+E)=E 自然可以求得我们要求的答案为 − 1 2 ( A − 2 E ) -\frac{1}{2}(A-2E) −21(A−2E)
4.3.4 由性质推得
如果同阶方阵A1,A2...An 可逆，则我们可以知道A1 * A2 * ... *An 可逆
例1.4 设A，B是同阶可逆方阵，且A+B也可逆，证明 A − 1 + B − 1 A^{-1}+B^{-1} A−1+B−1可逆，并求出逆矩阵
解： A − 1 + B − 1 = A − 1 （ B B − 1 ） + ( A − 1 A ) B − 1 = A − 1 ( A + B ) B − 1 A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}（BB^{-1}）+(A^{-1}A)B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1} A−1+B−1=A−1（BB−1）+(A−1A)B−1=A−1(A+B)B−1
因为A+B和 A − 1 A^{-1} A−1和 B − 1 B^{-1} B−1分别可逆，则原式可逆
4.3.5 由矩阵行列式
我们在数的除法中，零是不能做除数的，那么类比行列式，行列式为零的时候是不可逆的。
例1.5 设n阶方阵B可逆，方阵A满足 A 2 − A = B A^2-A=B A2−A=B，证明A可逆，并求其逆矩阵'
解：因为B可逆，所以 |B|≠0 |B| =|A||A-E| 所以|A|≠0 所以A可逆
4.3.6 阵的秩方阵满秩可逆，不满秩是不可逆的
2、逆的性质
（1）各自可逆，则乘积可逆。
即如果 A 1 , A 2 , . . . , A s A_1,A_2, ... ,A_s A1,A2,...,As 可逆，那么乘积 A 1 A 2 . . . A s A_1A_2 ... A_s A1A2...As 可逆，且 （ A 1 A 2 . . . A s ） − 1 = A s − 1 . . . A 2 − 1 A 1 − 1 （A_1A_2 ... A_s）^{-1}=A_s^{-1}...A_2^{-1}A_1^{-1} （A1A2...As）−1=As−1...A2−1A1−1
例1.4 用到了这个性质
注意如果 ( A + B ) − 1 (A+B)^{-1} (A+B)−1不等于 A − 1 + B − 1 A^{-1}+B^{-1} A−1+B−1 我记得我最开始学习的时候很容易犯这个错误，其实本质上是和转置混淆了，如果转置的话是成立的， ( A + B ) T (A+B)^{T} (A+B)T= A T + B T A^{T}+B^{T} AT+BT
###3、求逆的方法
（1）初等变换法
初等变换是我们求逆的最常用的方法，我们熟悉的
例1.1 设A，C分别为m和n阶矩阵，求证矩阵M= ( O A C B ) \begin{pmatrix}O&A\\C&B\end{pmatrix} (OCAB) 可逆，并求其逆矩阵。
