浅谈二叉树 - 技术栈

✏️✏️✏️今天给大家分享一下二叉树的基本概念以及性质、二叉树的自定义实现，二叉树的遍历等。

清风的CSDN博客

😛😛😛希望我的文章能对你有所帮助，有不足的地方还请各位看官多多指教，大家一起学习交流！

动动你们发财的小手，点点关注点点赞！在此谢过啦！哈哈哈！😛😛😛

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好，废话不多说，我们直接进入正题！！！

一、树形结构

[1.1 概念](#1.1 概念)

[1.2 关于树的一些概念术语](#1.2 关于树的一些概念术语)

[1.3 树的表示形式](#1.3 树的表示形式)

[1.4 树的应用](#1.4 树的应用)

二、二叉树

[2.1 概念](#2.1 概念)

[2.2 两种特殊的二叉树](#2.2 两种特殊的二叉树)

[2.3 二叉树的重要性质](#2.3 二叉树的重要性质)

[2.4 二叉树的存储](#2.4 二叉树的存储)

[2.5 二叉树的基本操作](#2.5 二叉树的基本操作)

[2.5.1 二叉树的类定义](#2.5.1 二叉树的类定义)

[2.5.2 二叉树的创建](#2.5.2 二叉树的创建)

[2.5.3 二叉树的前序遍历](#2.5.3 二叉树的前序遍历)

[2.5.4 二叉树的中序遍历](#2.5.4 二叉树的中序遍历)

[2.5.5 二叉树的后序遍历](#2.5.5 二叉树的后序遍历)

[2.5.6 获取树中节点个数](#2.5.6 获取树中节点个数)

[2.5.7 获取叶子节点个数](#2.5.7 获取叶子节点个数)

[2.5.8 获取第K层节点个数](#2.5.8 获取第K层节点个数)

[2.5.9 获取二叉树的高度](#2.5.9 获取二叉树的高度)

[2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点](#2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点)

一、树形结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 关于树的一些概念术语

结点的度 ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图： A 的度为 6
树的度 ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为 6
叶子结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点
双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点
孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A 的孩子结点
根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A
结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推
树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4
树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点
兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点
堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点
结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙
森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如： 双亲表示法、 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

java 复制代码

class Node {
   int value; // 树中存储的数据
   Node firstChild; // 第一个孩子引用
   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

了解了上面的基础知识，那我们就来看一下二叉树到底是什么！

二、二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树 : 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为 K ，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。

**完全二叉树:**完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的重要性质

若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为 1 ，则深度为 K的二叉树的最大结点数是-1(k>=0)
对任何一棵二叉树 , 如果其叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋1
具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k为向上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

java 复制代码

// 孩子表示法
class Node {
   int val; // 数据域
   Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
   int val; // 数据域
   Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
   Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的类定义

java 复制代码

public class BinaryTree {

    static public class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(char val){
            this.val=val;
        }
    }
}

2.5.2 二叉树的创建

二叉树是递归定义的，因此可以通过递归来创建一颗二叉树，也可以通过穷举法来创建。我们先通过穷举法来创建，后续我会给大家分享递归创建二叉树。

java 复制代码

   public TreeNode CreatBinaryTree(){
        TreeNode A=new TreeNode('A');
        TreeNode B=new TreeNode('B');
        TreeNode C=new TreeNode('C');
        TreeNode D=new TreeNode('D');
        TreeNode E=new TreeNode('E');
        TreeNode F=new TreeNode('F');
        TreeNode G=new TreeNode('G');
        TreeNode H=new TreeNode('H');
        A.left=B;
        A.right=C;

        B.left=D;
        B.right=E;

        C.left=F;
        C.right=G;

        D.left=H;

        return A;
    }

通过上面的穷举法，我们就创建了下面这样一棵二叉树:

2.5.3 二叉树的前序遍历

递归遍历：

java 复制代码

    public void preOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

非递归遍历：

java 复制代码

    public void preOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                System.out.print(cur.val+" ");
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur=top.right;
            }
        }

2.5.4 二叉树的中序遍历

递归遍历：

java 复制代码

    public void inOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

非递归遍历：

java 复制代码

    public void inOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top=stack.pop();
            System.out.print(top.val+" ");
            cur=top.right;
        }
    }

2.5.5 二叉树的后序遍历

递归遍历：

java 复制代码

    public void postOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

非递归遍历：

java 复制代码

    public void postOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        TreeNode prev=null;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top=stack.peek();

            if(top.right==null || top.right==prev){
                System.out.print(top.val+" ");
                stack.pop();
                prev=top;//记录最新被打印的节点
            }else{
                cur=top.right;
            }
        }
    }

2.5.6 获取树中节点个数

java 复制代码

    public int size(TreeNode root){
         if(root==null){
             return 0;
         }
         return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }

2.5.7 获取叶子节点个数

java 复制代码

    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null && root.right==null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
    }

2.5.8 获取第K层节点个数

java 复制代码

    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

2.5.9 获取二叉树的高度

java 复制代码

    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
     /*   if(root.left==null && root.right==null){
            return 1;
        }*/
        int leftHeight=getHeight(root.left);
        int rightHeight=getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;
    }

2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点

java 复制代码

    TreeNode find(TreeNode root, char val){
        if(root==null){
            return null;
        }
        if(root.val==val){
            return root;
        }
        TreeNode ret1=find(root.left,val);
        if(ret1!=null){
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2=find(root.right,val);
        if(ret2!=null){
            return ret2;
        }
        return null;
    }

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