4.3每日一题(知全微分求函数本身)

公式

1、先通过公式:dx前系数对y求偏导、dy前面的系数对x求偏导,求出 f'(x)的表达式;对x求不定积分,再通过 f(0)=0求出常数C,即可求出 f(x)

2、把F(x)的全微分列出来,dx、dy前面的表达式分别为F(x)偏x、y的导数

3、知道偏导数,求原函数,需要偏积分

(1)偏积分法:

F(x)=dx前面的系数做偏积分:把y看作常数,对x积分;因为是对x积分,所以需要加上一个 y 的函数;这样就得到了初步的F(x),只需要把y的函数求出来即可得到完整的F(x)

此时如何求y的函数:对刚刚得到的F(x)对y求偏导,此时y的函数会变成y的函数的导数,而完整的F(x)对y求偏导所得到的等式与用初步的F(x)对y求偏导的等式应该是一样的,所以在即可知道y的函数的导数的表达式

再对y的导数的表达式对y求偏积分,即可的出y的函数,即求出F(x)

(2)凑微分:

把dx、dy前面的式子凑到dx、dy里面;此时可以分开凑,先把dy容易的部分凑完,然后发现出现出现duv=v'du+u'dv的形式,最后得到dz=du+dv,z为u+v+C(相差常数)

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