csp信奥赛C++之约数研究
原题说明：洛谷P1403 [AHOI2005] 约数研究
题目描述
科学家们在 Samuel 星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机 Samuel II 的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用 Samuel II 进行数学研究。
小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数 N N N 的约数的个数，并以 f ( N ) f(N) f(N) 来表示。例如 12 12 12 的约数有 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 1,2,3,4,6,12 1,2,3,4,6,12，因此 f ( 12 ) = 6 f(12)=6 f(12)=6。下表给出了一些 f ( N ) f(N) f(N) 的取值：
| N N N | 1 1 1 | 2 2 2 | 3 3 3 | 4 4 4 | 5 5 5 | 6 6 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f ( N ) f(N) f(N) | 1 1 1 | 2 2 2 | 2 2 2 | 3 3 3 | 2 2 2 | 4 4 4 |
现在请你求出：
∑ i = 1 n f ( i ) \sum_{i=1}^n f(i) i=1∑nf(i)
输入格式
输入一个整数 n n n。
输出格式
输出答案。
输入输出样例 1
输入 1
3输出 1
5说明/提示
- 对于 20 % 20\% 20% 的数据， N ≤ 5000 N \leq 5000 N≤5000；
- 对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 10 6 1 \leq N \leq 10^6 1≤N≤106。
暴力代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, sum = 0; // n 为输入上限，sum 累计所有 f(i) 的和
// 计算 x 的约数个数
int f(int x) {
int cnt = 0; // 约数计数器
// 只需枚举到 sqrt(x) 即可成对统计
for (int i = 1; i <= sqrt(x); i++) {
if (x % i == 0) { // i 是 x 的约数
cnt += 2; // 将 i 和 x/i 这一对都计入
}
if (i * i == x) { // 若 i 恰好等于 x/i，说明是平方数，之前多算了一次
cnt--; // 减去重复的一次
}
}
return cnt;
}
int main() {
cin >> n; // 输入 n
// 枚举 1 到 n 的每个数，累加它们的约数个数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum += f(i);
}
cout << sum; // 输出结果
return 0;
}暴力代码TLE 原因分析
- 数据范围 ：题目中 (n) 最大可达 10 6 10^6 106。
- 外层循环 ：共执行 n = 10 6 n = 10^6 n=106 次。
- 内层函数
f(i)：对于每个 i，需要循环 i \sqrt{i} i 次（取整）。
总计算量约为： ∑ i = 1 n i ≈ ∫ 0 n x d x = 2 3 n 3 / 2 \sum_{i=1}^{n} \sqrt{i} \approx \int_{0}^{n} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} n^{3/2} ∑i=1ni ≈∫0nx dx=32n3/2
代入 (n = 10^6)：
2 3 × ( 10 6 ) 3 / 2 = 2 3 × 10 9 ≈ 6.67 × 10 8 \frac{2}{3} \times (10^6)^{3/2} = \frac{2}{3} \times 10^9 \approx 6.67 \times 10^8 32×(106)3/2=32×109≈6.67×108
即大约 6.7 亿次循环迭代。 - 结论 ：暴力枚举每个数的约数个数的方法在 n = 10 6 n=10^6 n=106 时无法通过时限，必须采用更高效的数学方法（如统计每个约数出现的次数）。
优化思路分析
更高效的方法 ：转换角度，统计每个正整数 d作为约数出现在多少个 i 中。
对于给定的 d，在 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n 中，d 的倍数有 ⌊ n d ⌋ \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor ⌊dn⌋ 个，因此 d对总和的贡献就是 ⌊ n d ⌋ \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor ⌊dn⌋。
于是： ∑ i = 1 n f ( i ) = ∑ d = 1 n ⌊ n d ⌋ \sum_{i=1}^n f(i) = \sum_{d=1}^n \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor ∑i=1nf(i)=∑d=1n⌊dn⌋
直接循环 d = 1 到 n 累加即可，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)。
对于 n ≤ 10 6 n \le 10^6 n≤106，完全可行。
AC代码
cpp
#include <bits/stdc++.h> // 万能头文件
using namespace std;
int main() {
int n; // 输入的上限
scanf("%d", &n); // 读入 n
long long ans = 0; // 答案可能超出 int 范围，使用 long long
// 枚举每个可能的约数 d，统计它出现的次数并累加
for (int d = 1; d <= n; ++d) {
ans += n / d; // d 作为约数出现的次数 = floor(n / d)
}
printf("%lld\n", ans); // 输出结果
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}