P8153 「PMOI-5」送分题/Yet Another Easy Strings Merging|普及+

「PMOI-5」送分题/Yet Another Easy Strings Merging

题目背景

本题征集假做法和 hack 数据，如果您用假做法 AC 了，欢迎私信出题人提供 hack。

信息可能有冗余。

------command_block 《考前小贴士》

djy 在看 P8001，看错题了，很自闭，然后就有了这个题。

题目描述

给定 n n n 个 01 串，每次你可以从某个串开头移除一个字符并把剩下的字符串 加入一个新串 S S S 的末尾。最大化 S S S 中相邻两个字符相同的对数。

例如你有 1010 111 两个串，如果你移除第一个串的第一个字符，则 010 被加入到 S S S 中。

串可以重复使用。

输入格式

第一行一个正整数 n n n 表示串的个数。

接下来 n n n 行，每行一个 01 字符串。

输出格式

一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1
1100

样例输出 #1

4

样例 #2

样例输入 #2

5
10010
10000
01110
111111
000000

样例输出 #2

48

提示

【样例解释】

依次取走第一个字符， S S S 的变化过程为 100->10000->100000，答案为 4 4 4。

【数据范围】

记 ∣ s ∣ |s| ∣s∣ 为字符串 s s s 的长度， s i s_i si 为第 i i i 个字符串 。
本题采用捆绑测试。

• Subtask 1（30 pts）： n , ∑ ∣ s i ∣ ≤ 11 n,\sum|s_i|\le 11 n,∑∣si∣≤11；
• Subtask 2（30 pts）： n , ∑ ∣ s i ∣ ≤ 10 3 n,\sum|s_i|\le 10^3 n,∑∣si∣≤103；
• Subtask 3（30 pts）： n , ∑ ∣ s i ∣ ≤ 10 5 n,\sum|s_i|\le 10^5 n,∑∣si∣≤105；
• Subtask 4（10 pts）：无特殊限制。

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 10 6 1\le n\le 10^6 1≤n≤106， n ≤ ∑ ∣ s i ∣ ≤ 10 6 n\le \sum |s_i|\le 10^6 n≤∑∣si∣≤106， ∀ i ∈ [ 1 , n ] \forall i\in [1,n] ∀i∈[1,n]， ∣ s i ∣ ≥ 1 |s_i|\ge 1 ∣si∣≥1。

简化版

问题比较复杂，我先看一个简单的问题。

n个字符串，每个字符串只会是00、01、10、11。将其串联起来，问最多有多少相邻字符相同。
性质一 ：如果存在两个不相邻的00，调整成挨在一起是不劣解。

令第一个00的前后字符分别是c1,c2，令另外一个00的前后字符是c3、c4。

将另外一个00插入到c1后面：左边相同相邻字符增加1。如果c3c4是00，右边相同相邻字符减少1。如果c3,c4是11，则右边相同相邻字符数量不变。如果c3c4一个0，一个1，则右边相同相邻字符数量减少1。综上所述，不连续的00挨着一起是不劣解。同理，相邻的11也调整在一起。
性质二 ：如果存在10或01，所有的00和11都可以串联在10(01)上。
性质三 ：10和01交叉出现，多的开头。不失一般性，令10的数量大于等于01的数量，如果10的数量和01的数量相等或多一，可以将10和01全部串联起来。m个字符串串联起来，共有m-1个相同相邻字符。
总结 ：我们把首位相同的串联起来。令c1是01的数量，c2是10的数量，不失一般性,假定c1 <=c2。00的数量c3,11数量c4。

将c1 和01和min(c2,c1+1)和10串联。如果c2不为0，将00和11全部串联起来；如果c2为0，则00和00串联，11和11串联。
注意：00和11内部有相同相邻字符。

本题

证明

将个字符串的后缀，从长到短处理。
性质一 ：如果当前字符串以0结尾，则如果存在00可选，选择00是不劣解。

令某最优解，当前字符后面是a，某00前后分别是b,c。

无论a是0还是1，左边都增加一个相同相邻字符。

bc为00、01、10右边都减少一个相同相邻字符，为11，右边相邻字符不变。
性质二 ：排除性质一后，如果当前字符串以0结尾，则如果存在01可选，选择01是不劣解。

如果a是0，要么符合性质一，要么符合性质二。故只需要证明a为1。

01变0011，左边增加两个相同相邻字符，右边无论如何都不可能减少3个或更多相同相邻字符。
性质三 ：排除性质一性质二后，如果当前字符串以0结尾，则如果存在11可选，选择11是不劣解。

排除性质一后，a一定为1。

01变0111，左边增加1个相同相邻字符。如果bc为01、10、11，右边相同相邻字符减少1，bc为00,右边相同相邻字符数量不变。
小结一 ：如果当前字符串以0，结尾依次选择00、01、11、10。上述证明不考虑00、11内部相同的字符。
小结二 ：如果当前字符串以1结尾，则优先选择11、10、00、01。
性质五 ：如果有多个00（11）选择任意一个，因为按上述规则会优先选择完所有00(11)。
猜想一：如果有多个01(10)任意选择一个。证明方法未知。

解法

long long ans 记录答案。

最后计算各字符串内部的相同相邻字符数，并加到ans上。a[i]记录s[i...]的相邻字符数。a[i] = a[i+1]+(s[i] = = s[i+1])。

Do1函数分别枚举00、01、10、11开头。

v[i]记录首尾分别为00、01、10、11的信息，包括：第i个字符串，此字符串后缀的起始下标。

end记录，前一个字符，2表示空。

如果end是2，则依次选择v[begin] 、v[0]、v[1]、v[2]、v[3]。

如果end是0，则依次选择v[0,1,3,2]。

如果end是1，则依次选择v[3,2,0,1]。

vsort记录三个下标选择顺序。

vsort[2][0] = begin。

将各字符出掉首字符后，入栈（封装成函数）。

end =2。

如果v[i]全部为空，结束循环；否则按顺序选择一个字符串。

ans = max(ans,curans)

如果选择的是v[sel]，则：

curans += (end == sel/2)

end = sel%2

v[sel]栈顶元素的下一个后缀入栈

v[sel]出栈

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for(int i=0;i < n ;i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T1,class T2>
void ReadTo(pair<T1, T2>& pr) {
	cin >> pr.first >> pr.second;
}

class Solution {
public:
	long long Ans(vector<string>& strs) {
		long long ans = 0;
		for (int i = 0; i < 4; i++) {
			ans = max(ans, Do(strs, i));
		}
		for (const auto& s : strs) {
			int pre = 0;
			for (int j = s.length() - 2; j >= 1; j--) {
				pre += (s[j] == s[j + 1]);
				ans += pre;
			}
		}
		return ans;
	}
	long long Do(vector<string>& strs, int begin) {
		long long ret = 0;
		int vSort[3][5] = { {0,1,3,2,0},{3,2,0,1,0},{0,0,1,2,3} };
		vSort[2][0] = begin;
		int end = 2;
		vector<pair<int, int>> v[4];
		auto Add = [&](int i, int j) {
			if (j >= strs[i].length()) { return; }
			const int inx = (strs[i][j] - '0') * 2 + (strs[i].back() - '0');
			v[inx].emplace_back(i, j);
		};
		for (int i = 0; i < strs.size(); i++) {
			Add(i, 1);
		}
		while (v[0].size() || v[1].size() || v[2].size() || v[3].size())
		{
			for (auto sel : vSort[end]) {
				if (v[sel].size()) {
					ret += (end == sel / 2);
					end = sel % 2;
					auto [i, j] = v[sel].back();
					v[sel].pop_back();
					Add(i, j + 1);
					break;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	

	auto strs = Read<string>();
#ifdef _DEBUG	
	/*printf("N=%d,K=%d,T=%d,", N, K,T);*/
	Out(strs, "strs=");
#endif	
	auto res = Solution().Ans(strs);
	cout << res << std::endl;
	return 0;
}

单元测试

	vector<string> strs;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			strs = {"1100"};
			auto res = Solution().Ans(strs);
			AssertEx(4LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			strs = { "00","01","10","11"};
			auto res = Solution().Ans(strs);
			AssertEx(2LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			strs = {"10010","10000","01110","111111","000000" };
			auto res = Solution().Ans(strs);
			AssertEx(48LL, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。