正交矩阵
定义： 正交矩阵是一种满足 A T A = E A^{T}A=E ATA=E的方阵
正交矩阵具有以下几个重要性质：
- A的逆等于A的转置，即 A − 1 = A T A^{-1}=A^{T} A−1=AT
- **A的行列式的绝对值等于1，即 ∣ d e t ( A ) ∣ = 1 |det(A)|=1 ∣det(A)∣=1
- 正交矩阵的行向量和列向量都是单位正交向量组，也就是说，它们的长度都是 1，而且两两垂直
- 正交矩阵的特征值都是模长为 1 的复数，即它们都在单位圆上。
- 正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵，即如果 A 和 B 都是正交矩阵，那么 AB 也是正交矩阵
eg:
0 1 0 1 0 0 0 0 1 \] \\begin{bmatrix} \& 0\& 1\& 0 \& \\\\ \&1\& 0\& 0 \& \\\\ \&0\& 0\& 1 \& \\end{bmatrix} 010100001 ### 对角矩阵 **定义：** 对角矩阵是一种特殊的方阵，它的非对角元素都为零，只有主对角线上的元素可能不为零 **性质：** -对角矩阵的逆矩阵等于主对角线上元素的倒数 eg: \[ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 \] \\begin{bmatrix} \& 1\& 0\& 0 \& \\\\ \&0\& 2\& 0 \& \\\\ \&0\& 0\& 3 \& \\end{bmatrix} 100020003 ### 对称矩阵 **定义：** 特殊的方阵，它的**转置矩阵与自身相等** ，也就是说，它的元素以主对角线为对称轴对应相等 性质： * 对称矩阵的特征值都是实数 * 特征向量都是正交的 * 可以通过相似变换对角化 * 其逆矩阵也是对称矩阵 eg: \[ 1 2 3 2 2 5 3 5 3 \] \\begin{bmatrix} \& 1\& 2\& 3 \& \\\\ \&2\& 2\& 5 \& \\\\ \&3\& 5\& 3 \& \\end{bmatrix} 123225353 ### 正定矩阵 **定义：** 给定一个大小为 n × n n \\times n n×n的实对称矩阵A，对于任意长度为n的非零向量x，有 X T A x \> 0 X\^{T}Ax\>0 XTAx\>0恒成立，则矩阵A是一个正定矩阵 * 其逆矩阵也是对称矩阵  ### 不正定矩阵 定义： 给定一个大小为 n × n n \\times n n×n的实对称矩阵A，对于任意长度为n的非零向量x,有 X T A x ≥ 0 X\^{T}Ax \\ge 0 XTAx≥0恒成立，则矩阵A是一个半正定矩阵 ### 补充知识 #### 单位正交向量组 正交向量组是一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组 #### 求行列式的绝对值 