【汉诺塔 —— (经典分治递归)】

汉诺塔 ------ (经典分治递归)

一.汉诺塔介绍

汉诺塔问题源自印度一个古老的传说,印度教的"创造之神"梵天创造世界时做了 3 根金刚石柱,其中的一根柱子上按照从小到大的顺序摞着 64 个黄金圆盘。梵天命令一个叫婆罗门的门徒将所有的圆盘移动到另一个柱子上,移动过程中必须遵守以下规则:
每次只能移动柱子最顶端的一个圆盘;
每个柱子上,小圆盘永远要位于大圆盘之上;

图 1 给您展示了包含 3 个圆盘的汉诺塔问题:

图 1 汉诺塔问题
一根柱子上摞着 3 个不同大小的圆盘,那么在不违反规则的前提下,如何将它们移动到另一个柱子上呢?图 2 给大家提供了一种实现方案:

图 2 汉诺塔问题的解决方案
汉诺塔问题中,3 个圆盘至少需要移动 7 次,移动 n 的圆盘至少需要操作 2n-1 次。
在汉诺塔问题中,当圆盘个数不大于 3 时,多数人都可以轻松想到移动方案,随着圆盘数量的增多,汉诺塔问题会越来越难。也就是说,圆盘的个数直接决定了汉诺塔问题的难度,解决这样的问题可以尝试用分治算法,将移动多个圆盘的问题分解成多个移动少量圆盘的小问题,这些小问题很容易解决,从而可以找到整个问题的解决方案。

二.分治算法解决汉诺塔问题

为了方便讲解,我们将 3 个柱子分别命名为起始柱、目标柱和辅助柱。实际上,解决汉诺塔问题是有规律可循的:
1) 当起始柱上只有 1 个圆盘时,我们可以很轻易地将它移动到目标柱上;
2) 当起始柱上有 2 个圆盘时,移动过程如下图所示:


图 3 移动两个圆盘
移动过程是:先将起始柱上的 1 个圆盘移动到辅助柱上,然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上,最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。
3) 当起始柱上有 3 个圆盘时,移动过程如图 2 所示,仔细观察会发现,移动过程和 2 个圆盘的情况类似:先将起始柱上的 2 个圆盘移动到辅助柱上,然后将起始柱上遗留的圆盘移动到目标柱上,最后将辅助柱上的圆盘移动到目标柱上。
通过分析以上 3 种情况的移动思路,可以总结出一个规律:对于 n 个圆盘的汉诺塔问题,移动圆盘的过程是:
1.将起始柱上的 n-1 个圆盘移动到辅助柱上;
2.将起始柱上遗留的 1 个圆盘移动到目标柱上;
3.将辅助柱上的所有圆盘移动到目标柱上。

由此,n 个圆盘的汉诺塔问题就简化成了 n-1 个圆盘的汉诺塔问题。按照同样的思路,n-1 个圆盘的汉诺塔问题还可以继续简化,直至简化为移动 3 个甚至更少圆盘的汉诺塔问题。

三.汉诺塔问题的代码实现

c 复制代码
//将n个圆盘借助by从from移到to
void hanoi(int n, char from, char to, char by)
{
    void move(int n, char x, char y);
    if (n == 1)
        move(n, from, to);
    else
    {
        hanoi(n - 1, from, by, to);
        move(n, from, to);
        hanoi(n - 1, by, to, from);
    }
}

void move(int n, char x, char y)
{
    printf("第%d个圆盘从%c->%c\n", n, x, y);
}

int main() {
    int n = 0;
    printf("请输入A柱上圆盘个数:");
    scanf("%d", &n);
    //将n个圆盘借助C从A移到B
    printf("移动方法展示:\n");
    hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

四.主函数测试展示


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