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1 基础知识
（零）
背包问题描述：有 N N N个物品，每个物品的体积是 v i v_i vi，价值是 w i w_i wi，现有容量是 V V V的背包，求这个背包能装下的物品的最大价值。
01背包问题：每个物品只有1个。
完全背包问题：每个物品有无穷多个。
多重背包问题：第 i i i个物品有 s i s_i si个。
分组背包问题：有N组物品，每组有 s i s_i si个物品，但只能选择其中一个。
（一）
01背包问题讲解。
状态定义f[i][j]：从前 i i i个物品中选择总体积不超过 j j j的物品的总价值的最大值。
状态转移：
- 不选择第 i i i个物品，即从前 i − 1 i-1 i−1个物品中选择总体积不超过 j j j的物品，根据状态的定义可知，为
f[i-1][j]。 - 选择第 i i i个物品，即从前 i − 1 i-1 i−1个物品中选择总体积不超过 j − v i j-vi j−vi的物品，然后再加上
w[i]，即f[i-1][j - v[i]] + w[i]。
f[i][j]的值取上述两者中的最大值即可。
初始化：f[0][0~V]=0。
最终答案：f[N][V]。
用代码表示如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N];
int w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
f[i][j] = f[i-1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}考虑到上述状态转移过程中，在计算第i层的状态时，只用到了第i-1层的信息，故可以使用滚动数组进行优化，将状态表示降成一维的。可以用一个临时数组来存取上一层的状态。更进一步，考虑f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i]] + w[i])，发现计算f[i][j]时，需要知道f[i-1][j-v[i]]的信息，而我们可以从j=m到j=v[i]的顺序进行更新，那么使用的就是上一层的f[j-v[i]]，故省去了 O ( N ) O(N) O(N)的临时数组的空间。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N];
int w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = m; j >= v[i]; --j) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}（二）
完全背包问题讲解。
状态定义同上，即f[i][j]：从前 i i i个物品中选择总体积不超过 j j j的物品的总价值的最大值。
状态转移稍有不同，如下，
- 不选第 i i i个物品，即
f[i-1][j]。 - 选1个第 i i i个物品，即
f[i-1][j - v[i]] + w[i]。 - 选2个第 i i i个物品，即
f[i-1][j - v[i] * 2] + w[i] * 2。
...... - 选 k k k个第 i i i个物品，即
f[i-1][j - v[i] * k] + w[i] * k。
初始化：f[0][0~V]=0。
最终答案：f[N][V]。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
for (int k = 0; k * v[i] <= j; ++k) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}上述代码的三重循环可以优化到两重循环，考虑状态f[i][j]的求解，
f i j = m a x ( f i − 1 j , f i − 1 j − v \[ i ] + w i , f i − 1 j − v \[ i ∗ 2 ] + w i ∗ 2 , ⋯ , f i − 1 j − v \[ i ∗ k ] + w i ∗ k ) fij = max(fi-1j, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j -v\[i] + wi, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j - v\[i * 2] + wi * 2,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j-v\[i * k] + wi * k) fij=max(fi−1j, fi−1j−v\[i]+wi, fi−1j−v\[i∗2]+wi∗2, ⋯, fi−1j−v\[i∗k]+wi∗k)
考虑状态f[i][j - v[i]]的求解，
f i j − v \[ i ] = m a x ( f i − 1 j − v \[ i ] , f i − 1 j − v \[ i ∗ 2 ] + w i , f i − 1 j − v \[ i ∗ 3 ] + w i ∗ 2 , ⋯ , f i − 1 j − v \[ i ∗ k ] + w i ∗ k ) fij - v\[i] = max(fi-1j- v\[i], \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j -v\[i * 2] + wi, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j - v\[i * 3] + wi * 2,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots,\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi-1j-v\[i * k] + wi * k) fij−v\[i]=max(fi−1j−v\[i], fi−1j−v\[i∗2]+wi, fi−1j−v\[i∗3]+wi∗2, ⋯, fi−1j−v\[i∗k]+wi∗k)
观察上式，发现有，
f i j = m a x ( f i − 1 j , f i j − v \[ i ] + w i ) fij = max(fi-1j, \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fij-v\[i] + wi) fij=max(fi−1j, fij−v\[i]+wi)
故写成代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
f[i][j] = f[i-1][j];
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}更进一步，可以利用滚动数组进行优化，考虑状态f[i][j]的计算公式f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i])，由于此处使用的是第i层的j-v[i]，故无需将j从j=m到j=v[i]这样倒序遍历，正序遍历即可。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
if (j >= v[i]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}（三）
多重背包问题讲解。
状态定义同（一），即f[i][j]：使用前 i i i个物体且总体积不超过 j j j，总价值的最大值。
状态转移：
- 不选择第 i i i个物品，即f
[i-1][j]。 - 选择1个第 i i i个物品，即
f[i-1][j-v[i]] + w[i]。 - 选择2个第 i i i个物品，即
f[i-1][j-v[i]*2] + w[i]*2
...... - 选择si个第 i i i个物品，即
f[i-1][j-v[i]*s[i]] + w[i] * s[i]。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
for (int k = 0; k * v[i] <= j && k <= s[i]; ++k) {
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}上述时间复杂度为 O ( n ⋅ m ⋅ s ) O(n\cdot m\cdot s) O(n⋅m⋅s)，可以优化到 O ( n ⋅ m ⋅ l o g ( s ) ) O(n\cdot m \cdot log(s)) O(n⋅m⋅log(s))。
具体介绍如下，考虑到有s[i]个第 i i i类物品，可以将其拆成 l o g ( s i ) log(si) log(si)个，比如有20个第 i i i类物品，可以拆成1个、2个、4个、8个和5个。然后转换成01背包问题。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 25000, M = 2010;
int n, m, cnt;
int v[N], w[N];
int f[M];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;//体积a，价值b，个数c
int k = 1;
while (c >= k) {
cnt ++;
v[cnt] = k * a;
w[cnt] = k * b;
c -= k;
k <<= 1;
}
if (c > 0) {
cnt++;
v[cnt] = c * a;
w[cnt] = c * b;
}
}
//做一遍01背包问题
for (int i = 1; i <= cnt; ++i) {
for (int j = m; j >= v[i]; --j) {
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}（四）
分组背包问题讲解。
有 N N N组物品，每组物品有 s i s_i si类，每一类只有一个，分别有体积 v i v_i vi、价值 w i w_i wi，现在有体积为 V V V的背包，只能从每组物品中挑选一个或者不选，求背包的最大价值。
状态定义基本同（一），即f[i][j]：从前 i i i个物品中选择总体积不超过 j j j的，其最大价值。
状态转移，有：
- 不选择第 i i i组物品，
f[i-1][j]。 - 选择第 i i i组物品中的第0个，即
f[i-1][j - v[i][0]] + w[i][0]。 - 选择第 i i i组物品中的第1个，即
f[i-1][j - v[i][1]] + w[i][1]。
...... - 选择第 i i i组物品中的第
k个，即f[i-1][j - v[i][k]] + w[i][k]。
C++代码如下，
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int s[N];
int v[N][N], w[N][N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> s[i];
for (int j = 0; j < s[i]; ++j) {
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = m; j >= 0; --j) {
for (int k = 0; k < s[i]; ++k) {
if (v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}2 模板
暂无。。。
3 工程化
暂无。。。