神经网络 模型表示2
使用向量化的方法会使得计算更为简便。以上面的神经网络为例，试着计算第二层的值：
我们令 z ( 2 ) = θ ( 1 ) x {{z}^{\left( 2 \right)}}={{\theta }^{\left( 1 \right)}}x z(2)=θ(1)x，则 a ( 2 ) = g ( z ( 2 ) ) {{a}^{\left( 2 \right)}}=g({{z}^{\left( 2 \right)}}) a(2)=g(z(2)) ，计算后添加 a 0 ( 2 ) = 1 a_{0}^{\left( 2 \right)}=1 a0(2)=1。 计算输出的值为：
我们令 z ( 3 ) = θ ( 2 ) a ( 2 ) {{z}^{\left( 3 \right)}}={{\theta }^{\left( 2 \right)}}{{a}^{\left( 2 \right)}} z(3)=θ(2)a(2)，则 h θ ( x ) = a ( 3 ) = g ( z ( 3 ) ) h_\theta(x)={{a}^{\left( 3 \right)}}=g({{z}^{\left( 3 \right)}}) hθ(x)=a(3)=g(z(3))。
这只是针对训练集中一个训练实例所进行的计算。如果我们要对整个训练集进行计算，我们需要将训练集特征矩阵进行转置，使得同一个实例的特征都在同一列里。即：
${{z}^{\left( 2 \right)}}={{\Theta }^{\left( 1 \right)}}\times {{X}^{T}} $
a ( 2 ) = g ( z ( 2 ) ) {{a}^{\left( 2 \right)}}=g({{z}^{\left( 2 \right)}}) a(2)=g(z(2))
为了更好了了解Neuron Networks的工作原理，我们先把左半部分遮住：
右半部分其实就是以 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 a_0, a_1, a_2, a_3 a0,a1,a2,a3, 按照Logistic Regression 的方式输出 h θ ( x ) h_\theta(x) hθ(x)
其实神经网络就像是logistic regression ，只不过我们把logistic regression 中的输入向量 [ x 1 ∼ x 3 ] \left[ x_1\sim {x_3} \right] [x1∼x3] 变成了中间层的 [ a 1 ( 2 ) ∼ a 3 ( 2 ) ] \left[ a_1^{(2)}\sim a_3^{(2)} \right] [a1(2)∼a3(2)], 即: h θ ( x ) = g ( Θ 0 ( 2 ) a 0 ( 2 ) + Θ 1 ( 2 ) a 1 ( 2 ) + Θ 2 ( 2 ) a 2 ( 2 ) + Θ 3 ( 2 ) a 3 ( 2 ) ) h_\theta(x)=g\left( \Theta_0^{\left( 2 \right)}a_0^{\left( 2 \right)}+\Theta_1^{\left( 2 \right)}a_1^{\left( 2 \right)}+\Theta_{2}^{\left( 2 \right)}a_{2}^{\left( 2 \right)}+\Theta_{3}^{\left( 2 \right)}a_{3}^{\left( 2 \right)} \right) hθ(x)=g(Θ0(2)a0(2)+Θ1(2)a1(2)+Θ2(2)a2(2)+Θ3(2)a3(2))
我们可以把 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 a_0, a_1, a_2, a_3 a0,a1,a2,a3看成更为高级的特征值，也就是 x 0 , x 1 , x 2 , x 3 x_0, x_1, x_2, x_3 x0,x1,x2,x3的进化体，并且它们是由 x x x与 θ \theta θ决定的，因为是梯度下降的，所以 a a a是变化的，并且变得越来越厉害，所以这些更高级的特征值远比仅仅将 x x x次方厉害，也能更好的预测新数据。
这就是神经网络相比于逻辑回归和线性回归的优势。