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一、题目要求
给你一个
n x n
的方形 整数数组matrix
,请你找出并返回通过matrix
的下降路径 的最小和 。下降路径 可以从第一行中的任何元素开始,并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列(即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素)。具体来说,位置
(row, col)
的下一个元素应当是(row + 1, col - 1)
、(row + 1, col)
或者(row + 1, col + 1)
。示例 1:
输入:matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]] 输出:13 解释:如图所示,为和最小的两条下降路径
示例 2:
输入:matrix = [[-19,57],[-40,-5]] 输出:-59 解释:如图所示,为和最小的下降路径
提示:
n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100
二、解题思路
这题我们用动态规划思想解决问题,下面是动态规划的一些定义梳理:
(1)状态表示
这里找到状态表示是通过:经验 + 题目要求,我们定义dp表里的某一位置,就是从上到下,在到达这个位置时的最小路径和。
(2)状态转移方程
如图:
假设到达这个位置时,求到这里用的最小路径和,那么就是左上,正上,右上间选一个最小值,加上四角星位置原表的路径值。而左上,正上,右上在dp表中放的都是到达他们位置的最小路径,这也是我们状态表示时的定义。如图:
(3)初始化
这里,我们再原表基础上要多加1行、2列,其中,第一行可以放0,因为dp对应原表的i j 位置,加上0是不影响这个映射位置要放的值。但是第一列和最后一列就不能放0了,因为定义dp表的位置,都要从左上,正上,右上取出最小值,再加上原表在dp表上映射的位置;所以第一列和最后一列,我们放整型的最大值:Integer.MAX_VALUE。如图:
(4)填表顺序
从上到下(因为要根据上面的值才能推出当前位置的值),为了方便,再从左到右
(5)返回值
返回dp表最后一行的最小值
三、代码
java
class Solution {
public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
//1、建立dp表
int n = matrix.length;//方形的,不用分别求行和列了
int[][] dp = new int[n + 1][n + 2];
//2、初始化dp表
for(int i = 1; i < n + 1; i++) {
//dp的第一列和最后一列赋值整型的最大值
dp[i][0] = dp[i][n + 1] = Integer.MAX_VALUE;
}
//3、填表
for(int i = 1; i < n + 1; i++) {
for(int j = 1; j < n + 1; j++) {
//左上,上,右上的最小值 + 此时原表的值
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i - 1][j - 1];
}
}
//4、返回值
int min = dp[n][0];
for(int i = 1; i < n + 1; i++) {
//找出最后一行(第n行)的最小值,返回这个最小值
min = Math.min(min, dp[n][i]);
}
return min;
}
}