数据结构-平衡树
前置知识
- 二叉树
- 二叉树的中序遍历
问题
维护一个数据结构，支持插入元素、删除元素、查询元素的排名、查询排名对应的元素、查询元素的前驱、查询元素的后继等。
BST（二叉搜索树）
作为一个基本无效（很容易卡掉）的数据结构，将其放在这里讲可能更为合适。。。
BST 的思想，来自于二叉树的 DFS 序。
设想一下，若一个二叉树的中序遍历正好递增，也就是说，始终有 左儿子 ≤ 根 ≤ 右儿子 左儿子\le根\le右儿子 左儿子≤根≤右儿子，那么不就可以达到 O ( 树高 ) O(\text{树高}) O(树高) 的复杂度了吗？
可能不是这样。设想一组数据，令插入的第 i i i 个节点为 i i i，BST 便会退化为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，长这样：
思路
为了弥补 BST 的各种劣势，聪明的 OIers 发明了平衡树。
对于上面卡掉 BST 的样例，平衡树的一种画法长这样：
可以看出来，平衡树是非常平衡的。
平衡树的重要处理就是维护其平衡性。
接下来介绍一下用来维护平衡树的平衡性质的两种操作------左旋（ Zag \text{Zag} Zag）和右旋（ Zig \text{Zig} Zig）
- Zag \text{Zag} Zag：
如果有一个失衡子树长这样：
需要将节点 q \text q q 旋转至节点 p \text p p，我们可以这样：
注意到，其中序遍历是不变的。 - Zig \text{Zig} Zig：
如果有一个失衡子树长这样：
需要将节点 q \text q q 旋转至节点 p \text p p，我们可以这样：
注意到，其中序遍历是不变的。
由于不同的平衡树对失衡子树的处理方式是不同的，所以这里不再赘述，可以去下方的文章学习。
数据结构参数
- 单次修改时间复杂度： Θ ( log n ) \Theta(\log n) Θ(logn)
- 单次查询时间复杂度： Θ ( log n ) \Theta(\log n) Θ(logn)
- 空间复杂度： Θ ( n ) \Theta(n) Θ(n)
接下来是三种基本的平衡树：
- AVL
- Treap
- Splay