二叉搜索树 --- C++实现

是个西兰花2023-12-24 17:41

目录

1.二叉搜索树的概念

2.二叉搜索树的操作

[3. 二叉树的实现](#3. 二叉树的实现)

4.二叉搜索树的应用

[5. 二叉树的性能分析](#5. 二叉树的性能分析)

[6. 二叉树进阶练习题](#6. 二叉树进阶练习题)

1.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树。

2.二叉搜索树的操作

cpp 复制代码 
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

1. 二叉搜索树的查找

  • a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
  • b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

2. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

  • a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
  • b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

3. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回，否则要删除的结点可能分下面四种情况：

  • a. 要删除的结点无孩子结点
  • b. 要删除的结点只有左孩子结点
  • c. 要删除的结点只有右孩子结点
  • d. 要删除的结点有左、右孩子结点

看起来有待删除节点有4中情况，实际情况**a可以与情况b或者c合并起来，把一个孩子看作空节点，**因此真正的删除过程如下：

  • 情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点，然后直接删除该节点 -- 即直接删除。
  • 情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点，然后直接删除该节点 -- 即直接删除。
  • 情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题 -- 替换法删除。即用左子树的最大节点，或右子树的最小节点来替换。

3. 二叉树的实现

代码中有每个操作都有两种写法，一种是非递归写法，一种是递归写法。

cpp 复制代码 
namespace key
{
	template<class K>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K>* left;
		BSTreeNode<K>* right;
		K _key;

		BSTreeNode(const K& key = K())
			:left(nullptr)
			, right(nullptr)
			, _key(key)
		{
		}

	};

	template<class K>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K> Node;
	public:

		BSTree()
			:_root(nullptr)
		{
		}

		//C++11 强制生成默认构造
		//BSTree() = default; 

		BSTree(const BSTree<K>& root)
		{
			_root = Copy(root._root);
		}

		BSTree<K>& operator=(BSTree<K> tree)
		{
			swap(tree._root, _root);
			return *this;
		}


		bool Insert(const K& key)//插入
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key);
				return true;
			}
			else
			{
				Node* cur = _root;
				Node* parent = nullptr;
				while (cur)
				{
					parent = cur;
					if (cur->_key > key)
					{
						cur = cur->left;
					}
					else if (cur->_key < key)
					{
						cur = cur->right;
					}
					else
					{
						return false;
					}
				}
				cur = new Node(key);
				if (cur->_key < parent->_key)
				{
					parent->left = cur;
				}
				else
				{
					parent->right = cur;
				}
				return true;
			}
		}

		bool Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key == key)
				{
					return true;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->right;
				}
				else
				{
					cur = cur->left;
				}
			}
			return false;
		}

		bool Erase(const K& key)//删除
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->right;
				}
				else//找到删除
				{
					if (cur->left == nullptr)
					{
						//左为空
						if (parent == nullptr)//根节点
						{
							_root = cur->right;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->left)
							{
								parent->left = cur->right;
							}
							else if (cur == parent->right)
							{
								parent->right = cur->right;
							}
							delete cur;
						}
					}
					else if (cur->right == nullptr)
					{
						//右为空
						if (parent == nullptr)//根节点
						{
							_root = cur->left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->left)
							{
								parent->right = cur->left;
							}
							else if (cur == parent->right)
							{
								parent->right = cur->left;
							}
							delete cur;
						}
					}
					else
					{//左右都不为空
						//右树的最小节点（最左节点）
						Node* subLeft = cur->right;
						Node* parent = cur;
						while (subLeft->left)
						{
							parent = subLeft;
							subLeft = subLeft->left;
						}
						if (subLeft == cur->right)//右树的最左节点是根，最左节点不是父节点的左孩子
						{
							swap(subLeft->_key, cur->_key);
							parent->right = subLeft->right;
						}
						else
						{
							swap(subLeft->_key, cur->_key);
							parent->left = subLeft->right;
						}
						delete subLeft;
					}
					return true;
				}

			}
			return false;
		}


		//递归遍历
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
		//递归查找

		bool FindR(const K& key)
		{
			return _FindR(_root, key);
		}

		//递归插入
		bool InsertR(const K& key)
		{
			return _InsertR(_root, key);
		}
		//递归删除
		bool EraseR(const K& key)
		{
			return _EraseR(_root, key);
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
		}

	private:
		Node* Copy(Node* root)
		{

			if (root == nullptr)
			{
				return nullptr;
			}

			Node* newRoot = new Node(root->_key);

			newRoot->left = Copy(root->left);
			newRoot->right = Copy(root->right);

			return newRoot;
		}

		void Destroy(Node*& root)//auto不能做函数参数
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			Destroy(root->left);
			Destroy(root->right);
			delete root;
			root = nullptr;
		}


		bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return false;
			}
			if (root->_key > key)
			{
				return _EraseR(root->left, key);
			}
			if (root->_key < key)
			{
				return _EraseR(root->right, key);
			}
			else
			{
				//删除,用引用十分巧妙
				if (root->right == nullptr)
				{//引用的是父节点的一个指针
					Node* del = root;
					root = root->left;
					delete del;
					return true;
				}
				else if (root->left == nullptr)
				{
					Node* del = root;
					root = root->right;
					delete del;
					return true;
				}
				else
				{
					Node* subLeft = root->right;

					while (subLeft->left)
					{
						subLeft = subLeft->left;
					}
					swap(subLeft->_key, root->_key);
					//让子树递归删除 
					return _EraseR(root->right, key);

				}
			}
		}

		bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
		{
			//这里root用引用
			if (root == nullptr)
			{
				root = new Node(key);
				return true;
			}
			if (root->_key < key)
			{//引用的是父节点的右孩子
				_InsertR(root->right, key);
			}
			if (root->_key > key)
			{
				_InsertR(root->left, key);
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//bool _InsertR(Node* root, const K& key)
		//{
		//	if (root == nullptr)
		//	{
		//		_root = new Node(key);
		//		return true;
		//	}
		//	if (key == root->_key)
		//	{
		//		return false;
		//	}
		//	if (key < root->_key)
		//	{
		//		if (root->left == nullptr)
		//		{
		//			root->left = new Node(key);
		//			return true;
		//		}
		//		else
		//		{
		//			return _InsertR(root->left, key);
		//		}
		//	}
		//	if (key > root->_key)
		//	{
		//		if (root->right == nullptr)
		//		{
		//			root->right = new Node(key);
		//			return true;
		//		}
		//		else
		//		{
		//			return _InsertR(root->right, key);
		//		}
		//	}
		//}

		bool _FindR(Node* root, const K& key)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return false;
			}
			else if (root->_key == key)
			{
				return true;
			}
			else if (root->_key < key)
			{
				return _FindR(root->right, key);
			}
			else
			{
				return _FindR(root->left, key);
			}
		}

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->left);
			cout << root->_key << " ";
			_InOrder(root->right);
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

4.二叉搜索树的应用

**1. K模型：**K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：

  1. 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
  2. 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。

**2. KV模型：**每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：

  1. 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
  2. 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对
cpp 复制代码 
//改造后的 key_value 结构
namespace key_value
{
	template<class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode<K,V>* left;
		BSTreeNode<K,V>* right;
		K _key;
		V _value;

		BSTreeNode(const K& key = K(),const V& value = V())
			:left(nullptr)
			, right(nullptr)
			, _key(key)
			, _value(value)
		{
		} 

	};

	template<class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K,V> Node;
	public:

		bool Insert(const K& key,const V& value)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key,value);
				return true;
			}
			else
			{
				Node* cur = _root;
				Node* parent = nullptr;
				while (cur)
				{
					parent = cur;
					if (cur->_key > key)
					{
						cur = cur->left;
					}
					else if (cur->_key < key)
					{
						cur = cur->right;
					}
					else
					{
						return false;
					}
				}
				cur = new Node(key,value);
				if (cur->_key < parent->_key)
				{
					parent->left = cur;
				}
				else
				{
					parent->right = cur;
				}
				return true;
			}
		}

		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key == key)
				{
					return cur;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->right;
				}
				else
				{
					cur = cur->left;
				}
			}
			return nullptr;
		}

		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->right;
				}
				else//找到删除
				{
					if (cur->left == nullptr)
					{
						//左为空
						if (parent == nullptr)//根节点
						{
							_root = cur->right;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->left)
							{
								parent->left = cur->right;
							}
							else if (cur == parent->right)
							{
								parent->right = cur->right;
							}
							delete cur;
						}
					}
					else if (cur->right == nullptr)
					{
						//右为空
						if (parent == nullptr)//根节点
						{
							_root = cur->left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->left)
							{
								parent->right = cur->left;
							}
							else if (cur == parent->right)
							{
								parent->right = cur->left;
							}
							delete cur;
						}
					}
					else
					{//左右都不为空
						//右树的最小节点（最左节点）
						Node* subLeft = cur->right;
						Node* parent = cur;
						while (subLeft->left)
						{
							parent = subLeft;
							subLeft = subLeft->left;
						}
						if (subLeft == cur->right)//右树的最左节点是根，最左节点不是父节点的左孩子
						{
							swap(subLeft->_key, cur->_key);
							parent->right = subLeft->right;
						}
						else
						{
							swap(subLeft->_key, cur->_key);
							parent->left = subLeft->right;
						}
						delete subLeft;
					}
					return true;
				}

			}
			return false;
		}


		//递归遍历
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
	private:
	

		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_InOrder(root->left);
			cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
			_InOrder(root->right);
		}

	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

5. 二叉树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下 ，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其时间复杂度为：O(logN)。

最差情况下 ，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其时间复杂度为：O(N)。

问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？那么我们后续文章学习的AVL树和红黑树就可以上场了。

6. 二叉树进阶练习题

这些题目更适合使用C++完成，难度也更大一些

  1. 二叉树创建字符串。OJ链接
  2. 二叉树的分层遍历1。OJ链接
  3. 二叉树的分层遍历2。OJ链接
  4. 给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。OJ链接
  5. 二叉树搜索树转换成排序双向链表。OJ链接
  6. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。OJ链接
  7. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。OJ链接
  8. 二叉树的前序遍历，非递归迭代实现 。OJ链接
  9. 二叉树中序遍历 ，非递归迭代实现。OJ链接
  10. 二叉树的后序遍历 ，非递归迭代实现。OJ链接

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本篇结束！

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