Unity中Shader裁剪空间推导（正交相机到裁剪空间的转化矩阵）

文章目录

• 前言
• [一、正交相机视图空间 转化到 裁剪空间 干了什么](#一、正交相机视图空间 转化到 裁剪空间 干了什么)
• • 1、正交相机裁剪的范围主要是这个方盒子
  • 2、裁剪了之后，需要把裁剪范围内的坐标值化到[-1,1]之间，这就是我们的裁剪空间。
  • 3、在Unity中，设置相机为正交相机
  • 4、在这里设置相机的近裁剪面和远裁剪面
• [二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间](#二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间)
• • 1、我们在Unity创建两个游戏对象来解释
  • [2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系](#2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系)
  • 3、化简X轴坐标
  • 4、化简Y轴坐标
  • [5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1])](#5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1]))
  • [6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1])](#6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1]))
• 三、把转化后的坐标转化为矩阵
• • 1、OpenGL下
  • 2、DirectX

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前言

我们把顶点坐标信息转化为裁剪空间。有可能使用到正交相机信息 或 透视相机。我们在这篇文章中，推导一下正交相机视图空间下的坐标转化到裁剪空间的矩阵。

• 本地空间->世界空间->观察空间->裁剪空间->屏幕映射

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一、正交相机视图空间 转化到 裁剪空间 干了什么

1、正交相机裁剪的范围主要是这个方盒子

• 因为使用的是右手坐标系。所以，摄像机的Z轴正方向是在X轴正方向右侧的。

2、裁剪了之后，需要把裁剪范围内的坐标值化到[-1,1]之间，这就是我们的裁剪空间。

• 在不同平台下裁剪空间的X 和 Y轴范围都是[-1，1]
• OpenGL下，Z范围[-1,1]
• DirectX下，Z范围[0,1]
  

3、在Unity中，设置相机为正交相机

• Unity视图窗口使用了左手坐标系，Z轴正方向 在 X轴正方向左侧。但是，我们计算使用的是右手坐标系，这里需要注意。
  

4、在这里设置相机的近裁剪面和远裁剪面

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二、把正交相机的方盒子内的坐标 转化到 裁剪空间

1、我们在Unity创建两个游戏对象来解释

• 我们的绿线Cube相当于我们的裁剪空间
• 我们的大长方体相当于世界空间下的游戏对象
• 当我们进行转化时，对大长方体进行缩放、平移即可转化到裁剪空间

2、正交相机坐标 到 裁剪坐标 的映射关系

• l ≤ x ≤ r l \leq x \leq r l≤x≤r 化为 -1 ≤ x ≤ \leq x \leq ≤x≤ 1
• b ≤ y ≤ t b \leq y \leq t b≤y≤t 化为 -1 ≤ x ≤ \leq x \leq ≤x≤ 1
• f ≤ z ≤ n f\leq z \leq n f≤z≤n 化为 -1 ≤ x ≤ \leq x \leq ≤x≤ 1

3、化简X轴坐标

l ≤ x ≤ r l \leq x \leq r l≤x≤r

l − l ≤ x − l ≤ r − l l - l \leq x - l \leq r - l l−l≤x−l≤r−l

0 ≤ x − l ≤ r − l 0 \leq x - l \leq r - l 0≤x−l≤r−l

0 ≤ x − l 2 r − l ≤ r − l 2 r − l 0 \leq x - l \frac{2}{r - l} \leq r - l \frac{2}{r - l} 0≤x−lr−l2≤r−lr−l2

0 ≤ 2 x − 2 l r − l ≤ 2 0 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} \leq 2 0≤r−l2x−2l≤2

− 1 ≤ 2 x − 2 l r − l − 1 ≤ 1 -1 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} - 1\leq 1 −1≤r−l2x−2l−1≤1

− 1 ≤ 2 x − 2 l r − l − r − l r − l ≤ 1 -1 \leq \frac{2x - 2l }{r - l} - \frac{r - l}{r - l}\leq 1 −1≤r−l2x−2l−r−lr−l≤1

− 1 ≤ 2 x − l − r r − l ≤ 1 -1 \leq \frac{2x - l -r }{r - l} \leq 1 −1≤r−l2x−l−r≤1

• l = − r , r = − l l = -r,r = -l l=−r,r=−l
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 r 和 l 是相反数。
  

− 1 ≤ 2 x − ( − r ) − r r − ( − r ) ≤ 1 -1 \leq \frac{2x - (-r) -r }{r - (-r)} \leq 1 −1≤r−(−r)2x−(−r)−r≤1

− 1 ≤ 2 x 2 r ≤ 1 -1 \leq \frac{2x}{2r} \leq 1 −1≤2r2x≤1

• w = 2 l = 2 r w = 2l = 2r w=2l=2r

(w为我们正交相机方盒子的宽，我们这里先假设为w。可以通过屏幕像素相除得到屏幕高宽比。然后，乘以h即可得到宽)

我们已知的是：
正交相机方盒子的高 Size（等于Unity单位值的2倍）
正交相机的近远裁剪面（Z值）

− 1 ≤ 2 x w ≤ 1 -1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1 −1≤w2x≤1

4、化简Y轴坐标

b ≤ y ≤ t b \leq y \leq t b≤y≤t

b − b ≤ y − b ≤ t − b b - b\leq y - b \leq t - b b−b≤y−b≤t−b

0 ≤ y − b ≤ t − b 0\leq y - b \leq t - b 0≤y−b≤t−b

0 ≤ y − b 2 t − b ≤ t − b 2 t − b 0\leq y - b\frac{2}{t - b} \leq t - b\frac{2}{t - b} 0≤y−bt−b2≤t−bt−b2

0 ≤ 2 y − 2 b t − b ≤ 2 0\leq \frac{2y - 2b}{t - b} \leq 2 0≤t−b2y−2b≤2

− 1 ≤ 2 y − 2 b t − b − 1 ≤ 1 -1\leq \frac{2y - 2b}{t - b} - 1\leq 1 −1≤t−b2y−2b−1≤1

− 1 ≤ 2 y − 2 b t − b − t − b t − b ≤ 1 -1\leq \frac{2y - 2b}{t - b} - \frac{t - b}{t - b}\leq 1 −1≤t−b2y−2b−t−bt−b≤1

− 1 ≤ 2 y − b − t t − b ≤ 1 -1\leq \frac{2y - b - t}{t - b}\leq 1 −1≤t−b2y−b−t≤1

• b = − t , b = − t b = -t,b = -t b=−t,b=−t
  我们在Unity中看出，我们的正交相机是处于裁剪面中央的。
  所以，我们的裁剪面x、y坐标，在摄像机空间下，是对称的。所以 b 和 t 是相反数。
  

− 1 ≤ 2 y − ( − t ) − t t − ( − t ) ≤ 1 -1\leq \frac{2y - (-t) - t}{t - (-t)}\leq 1 −1≤t−(−t)2y−(−t)−t≤1

− 1 ≤ 2 y + t − t t + t ≤ 1 -1\leq \frac{2y + t - t}{t + t}\leq 1 −1≤t+t2y+t−t≤1

− 1 ≤ 2 y 2 t ≤ 1 -1\leq \frac{2y}{2t}\leq 1 −1≤2t2y≤1

• h = 2 b = 2 t h = 2b = 2t h=2b=2t

(h为我们正交相机方盒子的高，这里先假设h代替)

− 1 ≤ 2 y h ≤ 1 -1\leq \frac{2y}{h}\leq 1 −1≤h2y≤1

5、化简Z坐标(OpenGL下 [-1,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• f ≤ z ≤ n f\leq z \leq n f≤z≤n 变为 − n ≤ z ≤ − f -n\leq z \leq -f −n≤z≤−f

− n ≤ z ≤ − f -n\leq z \leq -f −n≤z≤−f

0 ≤ z + n ≤ n − f 0\leq z + n \leq n-f 0≤z+n≤n−f

0 ≤ z + n 2 n − f ≤ n − f 2 n − f 0\leq z + n \frac{2}{n - f} \leq n - f \frac{2}{n - f} 0≤z+nn−f2≤n−fn−f2

0 ≤ 2 z + 2 n n − f ≤ 2 0\leq \frac{2z + 2n}{n - f} \leq 2 0≤n−f2z+2n≤2

− 1 ≤ 2 z + 2 n n − f − n − f n − f ≤ 1 -1\leq \frac{2z + 2n}{n - f} - \frac{n-f}{n-f}\leq 1 −1≤n−f2z+2n−n−fn−f≤1

− 1 ≤ 2 z + n + f n − f ≤ 1 -1\leq \frac{2z + n + f}{n - f} \leq 1 −1≤n−f2z+n+f≤1

− 1 ≤ 2 z + n + f n − f ≤ 1 -1\leq \frac{2z + n + f}{n - f} \leq 1 −1≤n−f2z+n+f≤1

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

− 1 ≤ 2 z n − f + n + f n − f ≤ 1 -1\leq \frac{2z}{n - f} + \frac{n+f}{n-f} \leq 1 −1≤n−f2z+n−fn+f≤1

6、化简Z坐标(DirectX下 [0,1])

因为我们观察空间是右手坐标系。但是，我们裁剪空间是左手坐标系。所以，这里需要化简的式子需要变化一下。(左手坐标系Z轴正方向与上图相反)

• f ≤ z ≤ n f\leq z \leq n f≤z≤n 变为 − n ≤ z ≤ − f -n\leq z \leq -f −n≤z≤−f

− n ≤ z ≤ − f -n \leq z \leq -f −n≤z≤−f

0 ≤ z + n ≤ n − f 0 \leq z + n\leq n -f 0≤z+n≤n−f

0 ≤ z + n 1 n − f ≤ 1 0 \leq z+n \frac{1}{n-f} \leq 1 0≤z+nn−f1≤1

0 ≤ z + n n − f ≤ 1 0 \leq \frac{z+n }{n-f} \leq 1 0≤n−fz+n≤1

• 化简为线性式，方便后面把式子化为矩阵

0 ≤ z n − f + n n − f ≤ 1 0 \leq \frac{z}{n-f} + \frac{n}{n-f}\leq 1 0≤n−fz+n−fn≤1

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三、把转化后的坐标转化为矩阵

• X
  − 1 ≤ 2 x w ≤ 1 -1 \leq \frac{2x}{w} \leq 1 −1≤w2x≤1

• Y
  − 1 ≤ 2 y h ≤ 1 -1\leq \frac{2y}{h}\leq 1 −1≤h2y≤1

• Z（OpenGL）
  − 1 ≤ 2 z n − f + n + f n − f ≤ 1 -1\leq \frac{2z}{n - f} + \frac{n+f}{n-f} \leq 1 −1≤n−f2z+n−fn+f≤1

• Z（DirectX）
  0 ≤ z n − f + n n − f ≤ 1 0 \leq \frac{z}{n-f} + \frac{n}{n-f}\leq 1 0≤n−fz+n−fn≤1

1、OpenGL下

[ 2 w 0 0 0 0 2 h 0 0 0 0 2 n − f n + f n − f 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \frac{2}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{2}{n -f} &\frac{n + f}{n - f}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} w20000h20000n−f2000n−fn+f1

2、DirectX

[ 2 w 0 0 0 0 2 h 0 0 0 0 1 n − f n n − f 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \frac{2}{w} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{h} & 0 &0\\ 0 & 0 & \frac{1}{n -f} &\frac{n}{n - f}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} w20000h20000n−f1000n−fn1