数据结构与算法 -- 使用DFS算法处理组合类和排列类问题

本文将会介绍LeetCode中关于排列类和组合类的题目，详情见Top 100和Top 150中关于「回溯」板块的问题。

1基础概念

首先我们先了解什么是递归、深度优先搜索、回溯。

递归不是算法，我们通常叫递归是递归函数，最经典的就是斐波那契数列

首先我们需要知道什么是斐波那契数列，例如下：

1,1,2,3,5,8,13 ......

当n = 1 或者 n = 2 时，斐波那契数列的值为1，从第3项开始，其值等于前两项的和，如果使用暴力递归的方式，如下：

private int f(int N) {
    if (N == 1) {
        return 1;
    }
    if (N == 2) {
        return 1;
    }
    return f(N - 1) + f(N - 2);
}

递归是将大问题拆解成一些小问题，例如要求f(5)的值，先需要知道f(4)和f(3)的值，以此递归直到找到函数的出口，由小问题反推大问题。

深度优先搜索算法，也会使用到递归，经典的就是二叉树的前序遍历，如图：

利用系统栈+回溯的思想，在左侧子树先遍历到左侧叶子节点，然后回溯回到父节点，再去父节点的右子树查找。

其实回溯就是在回到上一层时，需要把状态复原，在深度优先搜索算法中，就存在回溯，只不过不需要我们自行处理。

2 组合类DFS

给定一个数组，求这个数组的全部子序列。

首先针对这种组合类的题目，我们可以先画出N叉决策树，通过查看N叉树的结构，来决定递归的三要素。

如上图所示，图中每个节点都是我们需要的，而在每一层节点到达数组的最后一个元素的时候，就会停止从而回溯返回。

public static List<List<Integer>> combine(int[] nums) {

    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    if (nums == null || nums.length == 0) {
        return results;
    }
    dfs(nums, 0, new ArrayList<>(), results);
    return results;
}


private static void dfs(int[] nums,
                        int startIndex,
                        List<Integer> subsets,
                        List<List<Integer>> results) {
    //递归的出口
    
    //这里需要对subset深拷贝的原因是，回溯会对subsets引用做操作
    //会导致结果集中的数据被篡改 
    results.add(new ArrayList<>(subsets));

    // 分解递归
    // [1] [2] [3]
    // [1,2] [1,3] [2,3]

    for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
        subsets.add(nums[i]);
        dfs(nums, i + 1, subsets, results);
        subsets.remove(subsets.size() - 1);
    }

}

大家可以记住这个模板，在解决组合类问题的时候，可以套用这个模板。

2.1 DFS模板详解

其实对于求解组合类的算法题，这套模板可以解决90%的问题，我们详细介绍一下dfs这个方法。

首先我们根据题意来看：求解某个数组的子序列，什么是子序列，就是在数组中可以不连续，但是顺序不能变。 所以dfs的核心参数就是startIndex。

从题目开始的图中可以看，当startIndex = 0的时候，subset是空的，那么此时数组中所有的元素都可以用，横向看可以分成3份，可以理解为下面的3重循环。

private void combineForeach(int[] nums) {

    //假设此时nums = [1,2,3]

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {

        //此时 i= 0 nums[i] = 1 subset = [1]
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {

            //此时 j = 1 nums[j] = 2 subset = [1,2]
            
            for (int k = j + 1; k < nums.length; k++) {

                //此时 k = 2 nums[k] = 3 subset = [1,2,3]
            }
        }
    }

}

而碰到递归函数时，就会跳到下一层，此时0位置的元素将不能再用，因此只能跳到下一个元素的位置，此时startIndex = i+1 ，那么for循环可以分为2支就是[1,2],[1,3]，如此下来就输出全部子序列。

假设题目要求，当前位置的元素可以无限次数的调用，但是当前位置的元素之前的元素将不可再被使用，求解当前数组的满足条件的序列。

那么此时dfs方法中startIndex就可以设置为i，而不是i+1，因为当前元素可以在下次递归的时候还可以再次使用。

2.2 LeetCode 39

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

那么这道题就是同位置的元素可以被多次选取，但这种情况下需要注意，因为i始终会满足循环的条件，for循环不会退出递归就不会结束，因此需要通过一些条件使得递归退出。

public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    if(candidates == null || candidates.length == 0){
        return results;
    }
    dfs(candidates,0,new ArrayList(),results,0,target);
    return results;
}


private void dfs(int[] nums,
                 int startIndex,
                 List<Integer> subsets,
                 List<List<Integer>> results,
                 int sum,
                 int target){
    //递归出口
    if(sum == target){
        results.add(new ArrayList(subsets));
    }

    //这种情况下，直接return跳出递归即可
    if(sum > target){
        return;
    }

    for(int i = startIndex;i<nums.length;i++){
        subsets.add(nums[i]);
        //下一轮，关键在于index的选取，因为题意中说到，元素可以被无限次数的使用
        //因此，下一轮依然可以从当前数字的位置i开始
        dfs(nums,i,subsets,results,sum + nums[i],target);
        //回溯
        subsets.remove(subsets.size()-1);
    }
}

那么如果要求不能重复地使用数字，那么就需要将下一次的dfs中的startIndex置为 i+1.

2.3 小结

所以，任意combination类型的题目，都可以采用上述DFS模版，只需要根据题意调整startIndex的位置，同时需要考虑递归的出口，防止出现StackOverFlow。

如果题目要求：任意数字在任意一次递归中都可以使用，那么startIndex就将失去意义，后续衍生的问题将会是全排列的问题，与startIndex无关。

3 排列类DFS

排列和组合的不同之处在于，假设数组长度为n，全排列的个数为n的阶乘，而子序列的个数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2 n 2^n </math>2n，可以画出决策树来看。

跟组合类的不同在于，排列类只有在根节点才会是最终我们要的值，因为全排列不会涉及到字符的增加或者减少，因此递归的出口只需要判断字符串的长度是否与模板长度一致即可。

public static List<List<Integer>> combine2(int[] nums) {

    List<List<Integer>> results = new ArrayList<>();
    if (nums == null || nums.length == 0) {
        return results;
    }
    dfs(nums, new boolean[nums.length], new ArrayList<>(), results);
    return results;
}


private static void dfs(int[] nums,
                        boolean[] visited,
                        List<Integer> subsets,
                        List<List<Integer>> results) {
    //递归的出口
    if (subsets.size() == nums.length) {
        results.add(new ArrayList<>(subsets));
    }

    // 分解递归
    // [] -> [1],[2],[3] ...
    // [1] -> [1,2] [1,3] ...

    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (visited[i]) {
            continue;
        }
        //只添加没有访问过的数字
        subsets.add(nums[i]);
        visited[i] = true;
        dfs(nums, visited, subsets, results);
        //回溯的过程
        subsets.remove(subsets.size() - 1);
        visited[i] = false;
    }

}

3.1 DFS模板详解

与组合类的DFS不同的是，排列类的问题大都要求求解与模版长度相同的结果，例如全排列，所以每个元素在迭代的过程中都可能被用到，因此没有startIndex，反而会有一个boolean类型的数组用来标记已经被访问的元素。

例如字符串123，当访问第一个数字的时候，那么剩余的两个数字2,3都可以被使用；当访问数字2的时候，此时只剩下数字3可以被访问，最终拿到一个结果。

所以在for循环的时候，如果某个元素被访问了直接跳过。

3.2 全排列问题

已知一个字符串，求字符串的全排列，要求不允许出现重复的元素。

如果只是求全排列，例如字符串abb，那么个数就是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 3 ! = 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6 3!=3*2*1 = 6 </math>3!=3∗2∗1=6，但是因为字符串中存在相同的元素，所以不可避免会有重复的全排列元素，因此需要去重。

public static List<String> permutation(String digits) {
    List<String> results = new ArrayList<>();
    if (digits == null || digits.equals("")) {
        return results;
    }
    dfs(digits, new boolean[digits.length()], "", results);
    return results;
}


private static void dfs(String digits,
                        boolean[] visited,
                        String permute,
                        List<String> results) {
    //递归的出口
    if (permute.length() == digits.length()
            && !results.contains(permute)) {
        results.add(permute);
    }
    //拆解递归
    for (int i = 0; i < digits.length(); i++) {
        if (visited[i]) {
            continue;
        }
        visited[i] = true;
        dfs(digits, visited, permute + digits.charAt(i), results);
        //回溯
        visited[i] = false;
    }
}

最终输出的结果：[abb, bab, bba]