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组合学
加法原理
加法原理是指做一件事情，完成它有n类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，以此类推，第n类方式有Mn种方法，那么完成这件事情共有M1 + M2 + ... + Mn种方法。
乘法原理
乘法原理是指做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，以此类推，做第n步有Mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N = M1 × M2 × M3 × ... × Mn 种不同的方法。
排列组合
排列（arrangement/permutation）指的是，从给定个数的元素中取出指定个数的元素并进行排序的过程。
组合（combination）指的是，从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素的过程，不需要考虑排序问题。
考虑从n个小球中取出m个小球的问题，若
- 这些小球两两之间是不同的 （比如存在编号），那么取出的方式记为 A n m A_n^m Anm或 A ( n , m ) A(n,m) A(n,m)，存在公式
A n m = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × . . . × ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_n^m = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1) = \frac{n!}{(n-m)!} Anm=n×(n−1)×(n−2)×...×(n−m+1)=(n−m)!n!
- 这些小球两两之间是全同的 ，那么取出的方式记为 C n m C_n^m Cnm或 C ( n , m ) C(n,m) C(n,m)，存在公式
C n m = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × . . . × ( n − m + 1 ) m × ( m − 1 ) × ( m − 2 ) × . . . × 2 × 1 = n ! m ! ( n − m ) ! = A n m m ! C_n^m = \frac{n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)}{m×(m-1)×(m-2)×...×2×1} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{A_n^m}{m!} Cnm=m×(m−1)×(m−2)×...×2×1n×(n−1)×(n−2)×...×(n−m+1)=m!(n−m)!n!=m!Anm
组合恒等式
对于组合而言，存在以下恒等式成立
C n m = C n n − m C_n^m = C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m
C n m + C n m + 1 = C n + 1 m + 1 C_n^m + C_n^{m+1}= C_{n+1}^{m+1} Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1
C n 0 + C n 1 + C n 2 + C n 3 + . . . + C n n − 1 + C n n = ∑ i = 0 n C n i = 2 n C_n^0 + C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n = \sum_{i=0}^{n}C_n^i = 2^n Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+...+Cnn−1+Cnn=i=0∑nCni=2n
其中最后一个恒等式可以用二项式定理求证。
二项式定理
二项式定理是指，两个数之和的整数次幂可以展开为两整数的多项式之和，具体形式如下
( x + y ) n = C n 0 x 0 y n + C n 1 x 1 y n − 1 + C n 2 x 2 y n − 2 + . . . C n n − 1 x n − 1 y 1 + C n n x n y 0 = ∑ i = 0 n C n i x i y n − i (x+y)^n = C_n^0x^0y^n + C_n^1x^1y^{n-1} + C_n^2x^2y^{n-2} + ... C_n^{n-1}x^{n-1}y^1 + C_n^nx^ny^0 = \sum_{i=0}^{n}C_n^ix^iy^{n-i} (x+y)n=Cn0x0yn+Cn1x1yn−1+Cn2x2yn−2+...Cnn−1xn−1y1+Cnnxny0=i=0∑nCnixiyn−i
代入 x = 1 x =1 x=1和 y = 1 y = 1 y=1，即可得到式子 C n 0 + C n 1 + C n 2 + C n 3 + . . . + C n n − 1 + C n n = ∑ i = 0 n C n i = 2 n C_n^0 + C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n-1}+C_n^n = \sum_{i=0}^{n}C_n^i = 2^n Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+...+Cnn−1+Cnn=i=0∑nCni=2n
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