算法：动态规划

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一、问题描述

二、动态规划算法

总结

提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、问题描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1

输入: coins = $1, 2, 5$ , amount = 11

输出: 3

解释: 11 = 5 + 5 + 1

输入: coins = $2$ , amount = 3

输出: -1

二、动态规划算法

解题思路：

当我们拿到这个题目的时候，第一时间是想，总金额有多少种组合方式，然后再结合硬币金额进行匹配，但是这个方法可能性太多了，比较复杂。

换一种思路，不如我们先从1到amount，然后将每一个值需要的最少硬币数算好，然后逐步向最后的值靠拢

就拿这个例子来说：

先看1，刚好有1元硬币，最少硬币数是1

再看2，刚好有2元硬币，最少硬币数是1

再看3，比3小的硬币有两种，一种是1元，一种是2元，我们优先用2元的，还剩1元，那么我们找一下1元需要的最少硬币数，是不是第一步已经算出来了，1枚，加起来就是2

再看4，比4小的硬币有两种，一种是1元，一种是2元，我们优先用2元的，还剩2元，那么我们找一下2元需要的最少硬币数，是不是第二步已经算出来了，1枚，加起来就是2

再看5，小于等于5的硬币有三种，一种是1元，一种是2元，一种是5元，我们优先用最大面值5元的，还剩0元，最少硬币数是1

再看6，小于等于6的硬币有三种，一种是1元，一种是2元，一种是5元，我们优先用最大面值5元的，还剩1元，那么我们找一下1元需要的最少硬币数，是不是第一步已经算出来了，1枚，加起来就是2

......

最后看11，小于等于11的硬币有三种，一种是1元，一种是2元，一种是5元，我们优先用最大面值5元的，还剩6元，6元大于三种硬币最大的面值，那么再用一枚5元的，还剩1元，那么我们找一下1元需要的最少硬币数，是不是第一步已经算出来了，1枚，加起来就是3

这个分析的过程太香了！！！

代码示例：

复制代码

public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    // 初始化动态规划数组，长度为amount+1，初始值为amount+1，表示无法凑成该金额
    int[] dp = new int[amount + 1];
    for (int i = 0; i <= amount; i++) {
        dp[i] = amount + 1;
    }
    // 凑成金额0所需的硬币个数为0
    dp[0] = 0;

    // 遍历所有金额，更新dp数组
    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        // 遍历所有面额的硬币
        for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
            // 如果当前金额大于等于当前面额的硬币，尝试使用该硬币
            if (i >= coins[j]) {
                // 更新dp数组，取最小值
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
            }
        }
    }

    // 如果dp[amount]仍为amount+1，表示无法凑成总金额，返回-1
    return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}

初始化一个长度为总金额+1的数组dp，初始值都设为总金额+1，表示无法凑成该金额。dp $i$ 表示凑成金额i所需的最少硬币个数。
将dp $0$ 设为0，因为凑成金额0不需要任何硬币。
遍历所有金额，从1到总金额。对于每个金额i，遍历所有硬币面额，如果当前金额大于等于当前面额的硬币，尝试使用该硬币。
更新dp $i$ 的值，取dp $i$ 和dp $i-coins\[j$ ]+1的最小值。dp $i-coins\[j$ ]+1表示使用当前面额的硬币后，剩余金额需要的最少硬币个数。
遍历完所有金额后，如果dp $amount$ 仍为总金额+1，表示无法凑成总金额，返回-1。否则，返回dp $amount$ ，即凑成总金额所需的最少硬币个数。

总结

注释已添加，快快动手练习吧，简单到有手就行！