代码随想录第四十一天——整数拆分，不同的二叉搜索树

leetcode 343. 整数拆分

确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
确定递推公式
从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]：
一个是j * (i - j) ，即把整数拆分成两个数相乘；
一个是j * dp[i - j]，拆分成两个以及两个以上的数相乘。
递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))
dp的初始化
初始化dp[0]，dp[1]没有意义，dp[2] = 1
确定遍历顺序
dp[i] 依赖 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]

cpp 复制代码

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

可以优化为：
（一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的， j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以了，后面没有必要遍历了，一定不是最大值。）

cpp 复制代码

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

整体代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)

leetcode 96. 不同的二叉搜索树

题目链接：不同的二叉搜索树

以dp[3]为例：dp[3] = 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
确定递推公式
递推关系：dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]，j-1 为 j 为头结点左子树节点数量，i-j 为以 j 头结点右子树节点数量。
dp的初始化
初始化dp[0]，dp[0] = 1
确定遍历顺序
节点数为 i 的状态是依靠 i 之前节点数的状态，所以遍历 i 里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

cpp 复制代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
 {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

整体代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) 
    {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)