算法训练营Day39

#Java #动态规划

Feeling and experiences:

爬楼梯(进阶版):卡码网题目链接

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

和最初版本的爬楼梯来对比:本题能爬的阶数不再是 1 或 2 ,而是m;

代码如下:

java 复制代码
import java.util.*;
public class Main{
    
    public static void main(String[] args)
    {
        //输入
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        
        //创建dp数组 ,含义:到i级台阶,需要dp[i]种方法
        int[] dp = new int[n+1];
       
       //初始化dp数组
       dp[0] = 1;
       
       //循环 ,递推
       for(int i = 1;i<=n;i++){ //外层循环:背包
           for(int j = 1;j<= m;j++){ //内层循环:物品
               if(i >= j){
                   dp[i]+=dp[i-j];
               }
           }
       }
       
        System.out.print(dp[n]);
    }    
}

这里递推模拟一下:(假如 n = 4,m = 2)

  1. 当 i = 1(只有1级台阶):

• 可以从第0级走1级到达第1级,所以 dp[1] = dp[0] = 1。

  1. 当 i = 2(有2级台阶):

• 可以从第0级走2级到达第2级,或者从第1级走1级到达。所以 dp[2] = dp[0] + dp[1] = 1 + 1 = 2。

  1. 当 i = 3(有3级台阶):

• 可以从第1级走2级到达第3级,或者从第2级走1级到达。所以 dp[3] = dp[1] + dp[2] = 1 + 2 = 3。

  1. 当 i = 4(有4级台阶):

• 可以从第2级走2级到达第4级,或者从第3级走1级到达。所以 dp[4] = dp[2] + dp[3] = 2 + 3 = 5。

最终结果,dp[4] = 5,表示到达第4级台阶共有5种方法。

通过这道题,对内外循环再做一个详细的解释:(加深理解)

  1. 外层循环 (for(int i = 1; i <= n; i++)):
    • 这个循环遍历每一级台阶,从第1级到第 n 级。
    • 在每次迭代中,i 表示当前目标台阶。我们要计算到达这一级台阶的所有可能的方法数。
    • 外层循环确保了我们逐步建立到达每一级台阶的方法数,这是动态规划的核心特性------使用已解决的子问题来帮助解决更大的问题。

  2. 内层循环 (for(int j = 1; j <= m; j++)):
    • 对于每一级台阶 i,这个循环考虑所有可能的跳跃步数来到达这一级台阶。
    • j 表示从前一个台阶跳跃的步数,它可以从1变化到 m(最大步数)。
    • 在每次迭代中,如果 i 大于或等于 j,这意味着可以从 i-j 级台阶跳跃 j 步到达 i 级台阶。我们通过累加 dp[i-j](到达第 i-j 级台阶的方法数)来更新 dp[i]。

零钱兑换:力扣题目链接

给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1:

输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3 
解释:11 = 5 + 5 + 1

每种硬币数量是无限的!!!

java 复制代码
class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
    
    //创建dp数组 ,含义:凑到amount有dp[amount]
    int []dp = new int[amount+1];
    Arrays.fill(dp,amount+1);

    //初始化dp数组
    dp[0] = 0;
    //循环,递推
    for(int i =1;i<=amount;i++){
        for(int j =0;j< coins.length;j++){
            if(coins[j] <= i){
                dp[i] = Math.min(dp[i],dp[i-coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[amount] > amount? -1: dp[amount];
    }
}

为什么会用Arrays.fill 来把dp数组的元素 设置为 amount+1 ;

因为amount + 1,是一个"不可达值",用于后序的 Math.min()函数 来进行结果的更新。

外层循环 (for(int i = 1; i <= amount; i++)):
• 遍历所有从 1 到 amount 的金额。
• 每次迭代计算组成金额 i 所需的最少硬币数。

内层循环 (for(int j = 0; j < coins.length; j++)):
• 遍历每一种硬币的面值。
• 如果当前硬币的面值 coins[j] 小于等于当前金额 i,则考虑使用这枚硬币。
• 使用 Math.min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1) 来更新 dp[i]。这里的 dp[i-coins[j]] + 1 表示如果使用这枚硬币,组成金额 i 所需的硬币数量(当前金额减去硬币面值的最少硬币数 + 这枚硬币)。

完全平方数:力扣题目链接

给你一个整数 n ,返回 和为 n 的完全平方数的最少数量

完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,14916 都是完全平方数,而 311 不是。

示例 1:

输入:n = 12
输出:3 
解释:12 = 4 + 4 + 4

其本质还是背包问题 ,就是把可取的元素变成了平方数,在可取元素上做了改变!

这道题基本和上一个题:零钱兑换 是一样的,按照其模板来写:(先物品再背包)

java 复制代码
class Solution {
    public int numSquares(int n) {
    //按照 零钱兑换的模板来写
    //创建dp数组
    int []dp = new int[n+1];
    //同理,还是要用到Arrays.fill 来赋值
    Arrays.fill(dp,n+1);

    //初始化
    dp[0] = 0;
    
    //循环递推 :先物品再背包
    for(int i =1;i<=n;i++){
        for(int j =i*i;j<=n;j++){
            dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
        }
    }
return dp[n];
    }
}

先背包再物品:(不用Arrays.fill 赋值)

java 复制代码
class Solution {
    // 版本二, 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时,组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

"移舟靠岸
案前惟剩空盏
莫怨良辰短
曲终了韵意未完"

Fighting!

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