基于时域有限差分法的FDTD的计算电磁学算法（含Matlab代码）-YEE网格下的更新公式推导
参考书籍：The finite-difference time-domain method for electromagnetics with MATLAB simulations（国内翻译版本：MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法）
代码推荐：The finite-difference time-domain method for electromagnetics with MATLAB simulations的附件代码
我最初也是基于这个代码学习的
FDTD算法 ：采用差分直接离散时域Maxwell方程，电磁场的求解基于时间步的迭代，无需存储全空间的电磁场信息，内存消耗较小 ，同时采用立方体网格 和差分算法，网格形式和算法均十分简单，计算速度快 ，基于时域算法，特别适合"宽带 问题"的求解。但是，简单的立方体方体网格带来的弊端就是模型拟合精度较低 ，对于含有精细结构的模型，计算精度较低，同时基于"微分方程"，计算区域需要设置截断 。
详细对比参考：常用计算电磁学算法特性与电磁软件分析
1、从麦克斯韦开始的FDTD时域有限差分法
1.1 麦克斯韦方程
FDTD叫时域有限差分法，显然，其依赖的麦克斯韦方程也是时域的。麦克斯韦时域微分方程为：
∇ × H = ∂ D ∂ t + J ∇ × E = − ∂ B ∂ t − M ∇ ⋅ D = ρ e ∇ ⋅ B = ρ m \begin{gathered} \nabla\times \mathbf{H}= {\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}}+\boldsymbol{J} \\ \nabla\times \mathbf{E}=-{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}}-\mathbf{M} \\ \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\mathrm{e}} \\ \nabla\cdot \mathbf{B}=\rho_{m} \end{gathered} ∇×H=∂t∂D+J∇×E=−∂t∂B−M∇⋅D=ρe∇⋅B=ρm
式中，E为电场强度(V/m);D为电位移(C/m);H为磁场强度(A/m);B为磁通量密度(Wb/m°);J为电流密度(A/m);M为磁流密度(V/m); ρ e \rho_{e} ρe为电荷密度(C/m); ρ m \rho_{m} ρm为磁荷密度(Wb/m)。
依稀记得当时老师说，麦克斯韦方程有其直观理解，分别是：
1. 变化的电场和电流会产生磁场
2. 变化的磁场和磁荷会产生电场（自然界无磁荷，一般是等效出来）
3. 电流源产生电场
4. 磁流源产生磁场
1.2 本构关系
本构关系对补充麦克斯韦方程和描述媒质的特性是必要的,本构关系对线性、各向同性和非色散媒质可以写成：
D = ε E B = μ H . \begin{aligned}D&=\varepsilon E\\B&=\mu H\end{aligned}. DB=εE=μH.
其中， ε \varepsilon ε为媒质的介电常数; μ \mu μ为媒质的磁导率。在自由空间，有:
ε = ε 0 = 8.854 × 1 0 − 12 F / m μ = μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 H / m \begin{aligned}\varepsilon=&\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}\quad\mathrm{F/m}\\\mu=&\mu_0=4\pi\times10^{-7}\quad\mathrm{H/m}\end{aligned} ε=μ=ε0=8.854×10−12F/mμ0=4π×10−7H/m
在常规的电磁学表述中，我们更多的使用相对介电常数。比如说耳熟能详的FR4板材，其相对介电常数大概是 ε r = 4.2 \varepsilon_r=4.2 εr=4.2。 这就代表其实际的介电常数为 ε F R 4 = ε r ε 0 \varepsilon_{FR4}=\varepsilon_r\varepsilon_0 εFR4=εrε0。但是，还有一个重要参数和本构关系相关，那就是损耗角正切 t a n δ tan \delta tanδ。
对于FR4板材，一般认为其损耗角正切为 t a n δ = 0.02 tan \delta=0.02 tanδ=0.02，根据微波工程1.3小节的公式：
ϵ = ϵ ′ − j ϵ ′ ′ = ϵ ′ ( 1 − j tan δ ) = ϵ 0 ϵ r ( 1 − j tan δ ) \epsilon=\epsilon^{\prime}-j\epsilon^{\prime\prime}=\epsilon^{\prime}(1-j\tan\delta)=\epsilon_{0}\epsilon_{r}(1-j\tan\delta) ϵ=ϵ′−jϵ′′=ϵ′(1−jtanδ)=ϵ0ϵr(1−jtanδ)，其对应的介电常数应该是：
ε F R 4 = ε r ( 1 − j tan δ ) ε 0 = ( 4.2 − j 0.02 ) ε 0 \varepsilon_{FR4}=\varepsilon_r(1-j\tan\delta)\varepsilon_0=(4.2-j0.02)\varepsilon_0 εFR4=εr(1−jtanδ)ε0=(4.2−j0.02)ε0
其对应的相对介电常数为：4.2-j0.02
在进行FDTD的推导时，因为在 FDTD 的更新方程的过程中满足散度方程，所以只需要考虑两个旋度方程 即可。麦克斯韦中的电流密度 J \boldsymbol{J} J等于导体电流密度 J c \boldsymbol{J_c} Jc与施加电流密度 J i \boldsymbol{J_i} Ji之和，即：
J = J c + J i \boldsymbol{J}=\boldsymbol{J_{\mathrm{c}}}+\boldsymbol{J_{\mathrm{i}}} J=Jc+Ji
对于磁流密度，也类似：
M = M c + M i \boldsymbol{M}=\boldsymbol{M_{\mathrm{c}}}+\boldsymbol{M_{\mathrm{i}}} M=Mc+Mi
因此，对原来的麦克斯韦方程拆分一下，就是：
∇ × H = ε ∂ E ∂ t + σ e E + J i \nabla\times \boldsymbol{H}=\varepsilon\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}+\sigma^{e}\boldsymbol{E}+\boldsymbol{J_{i}} ∇×H=ε∂t∂E+σeE+Ji
和：
∇ × E = − μ ∂ H ∂ t − σ m H − M i \nabla\times \boldsymbol{E}=-\mu\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}-\sigma^{m}\boldsymbol{H}-\boldsymbol{M_{i}} ∇×E=−μ∂t∂H−σmH−Mi
旋度的计算公式大家还记得不：
∇ × F ( x , y , z ) = ∣ i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z ∣ = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i ^ + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j ^ + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k ^ \begin{aligned} &\nabla\times\mathbf{F}(x,y,z)=\begin{vmatrix}\hat{\boldsymbol{i}}&\hat{\boldsymbol{j}}&\hat{\boldsymbol{k}}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} \\ &=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{i}}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{\boldsymbol{j}}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{\boldsymbol{k}} \end{aligned} ∇×F(x,y,z)= i^∂x∂Fxj^∂y∂Fyk^∂z∂Fz =(∂y∂Fz−∂z∂Fy)i^+(∂z∂Fx−∂x∂Fz)j^+(∂x∂Fy−∂y∂Fx)k^
把麦克斯韦旋度方程按照三个方向x，y，z全部展开，就可以得到6个方程：
∂ E x ∂ t = 1 ε x ( ∂ H z ∂ y − ∂ H y ∂ z − σ x e E x − J i x ) ∂ E y ∂ t = 1 ε y ( ∂ H x ∂ z − ∂ H z ∂ x − σ y e E y − J i y ) ∂ E z ∂ t = 1 ε z ( ∂ H y ∂ x − ∂ H x ∂ y − σ z e E z − J i z ) ∂ H x ∂ t = 1 μ x ( ∂ E y ∂ z − ∂ E z ∂ y − σ x m H x − M i x ) ∂ H y ∂ t = 1 μ y ( ∂ E x ∂ x − ∂ E x ∂ z − σ y m H y − M i y ) ∂ H z ∂ t = 1 μ z ( ∂ E x ∂ y − ∂ E y ∂ x − σ z m H z − M i z ) \begin{gathered} \frac{\partial\boldsymbol{E}x}{\partial t}= \frac1{\varepsilon_x}\Big(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\sigma_x^eE_x-J{ix}\Big) \\ \frac{\partial E_y}{\partial t}= \frac1{\varepsilon_y}\Big(\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\sigma_y^eE_y-J_{iy}\Big) \\ \frac{\partial E_z}{\partial t}= \frac{1}{\varepsilon_{z}}\Big(\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}-\sigma_{z}^{e}E_{z}-J_{iz}\Big) \\ \frac{\partial H_x}{\partial t}= \frac1{\mu_x}\Big(\frac{\partial E_y}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial y}-\sigma_x^mH_x-M_{ix}\Big) \\ \frac{\partial H_y}{\partial t}= \frac1{\mu_y}\Big(\frac{\partial\boldsymbol{E}x}{\partial x}-\frac{\partial\boldsymbol{E}x}{\partial\boldsymbol{z}}-\boldsymbol{\sigma}y^\mathfrak{m}H_y-\boldsymbol{M}{iy}\Big) \\ \frac{\partial H_z}{\partial t}= \frac{1}{\mu{z}}\Big(\frac{\partial\boldsymbol{E}{x}}{\partial y}-\frac{\partial\boldsymbol{E}{y}}{\partial x}-\sigma{z}^{\mathfrak{m}}H_{z}-\boldsymbol{M}_{iz}\Big) \end{gathered} ∂t∂Ex=εx1(∂y∂Hz−∂z∂Hy−σxeEx−Jix)∂t∂Ey=εy1(∂z∂Hx−∂x∂Hz−σyeEy−Jiy)∂t∂Ez=εz1(∂x∂Hy−∂y∂Hx−σzeEz−Jiz)∂t∂Hx=μx1(∂z∂Ey−∂y∂Ez−σxmHx−Mix)∂t∂Hy=μy1(∂x∂Ex−∂z∂Ex−σymHy−Miy)∂t∂Hz=μz1(∂y∂Ex−∂x∂Ey−σzmHz−Miz)
2、空间差分与时间差分
2.1、非常简单的差分方程
FDTD是在离散网格中进行迭代的，上面的麦克斯韦公式有大量的求导计算，这该如何解决呢？答案是差分近似。大家学高数都学过导数的近似吧：
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f^{'}(x)=\underset{\Delta x\to0}{\operatorname*{lim}}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)
如果 Δ x \Delta x Δx非常小，那么：
f ′ ( x ) ≈ f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f^{'}(x)\approx\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)≈Δxf(x+Δx)−f(x)
但是为了实现更高的精度，所以采用FDTD都会采用双向差分公式：
f ′ ( x ) ≈ f ( x + Δ x ) − f ( x − Δ x ) 2 Δ x f^{^{\prime}}(x){\approx}\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x} f′(x)≈2Δxf(x+Δx)−f(x−Δx)
实际上，此处使用的是近似，也存在高阶的FDTD的算法，对于此近似考虑了更多项，精度会更高(参考"基于高阶时域有限差分法平面波及完全匹配层的研究"等)：
f ′ ( x ) = f ( x + Δ x ) − f ( x − Δ x ) 2 Δ x − ( Δ x 2 ) 6 + . . . = f ( x + Δ x ) − f ( x − Δ x ) 2 Δ x + O ( ( Δ x ) 2 ) f^{\prime}(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}-\frac{(\Delta x^{2})}{6}+...=\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}+O((\Delta x)^{2}) f′(x)=2Δxf(x+Δx)−f(x−Δx)−6(Δx2)+...=2Δxf(x+Δx)−f(x−Δx)+O((Δx)2)
2.2、差分方程的运用
在FDTD算法中，网格被剖分为YEE网格的形式，电场和磁场元胞差半个身位，其更新的时间步也是差 0.5 Δ t 0.5\Delta t 0.5Δt：
具体来讲，实际的电场网格和磁场网格的位置是：
E x ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 0 , 5 ) Δ x , ( j − 1 ) Δ y , ( k − 1 ) Δ z ) E y ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 1 ) Δ x , ( j − 0.5 ) Δ y , ( k − 1 ) Δ z ) E z ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 1 ) Δ x , ( j − 1 ) Δ y , ( k − 0.5 ) Δ z ) H x ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 1 ) Δ x , ( j − 0.5 ) Δ y , ( k − 0.5 ) Δ z ) H y ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 0.5 ) Δ x , ( j − 1 ) Δ y , ( k − 0.5 ) Δ z ) H z ( i , j , k ) ⇒ ( ( i − 0.5 ) Δ x , ( j − 0.5 ) Δ y , ( k − 1 ) Δ z ) \begin{aligned} E_x(i,j,k)\Rightarrow\left((i-0,5)\Delta x,(j-1)\Delta y,(k-1)\Delta z\right)\\ E_y(i,j,k)\Rightarrow\left((i-1)\Delta x,(j-0.5)\Delta y,(k-1)\Delta z\right)\\ E_z(i,j,k)\Rightarrow\left((i-1)\Delta x,(j-1)\Delta y,(k-0.5)\Delta z\right)\\ H_x(i,j,k)\Rightarrow\left((i-1)\Delta x,(j-0.5)\Delta y,(k-0.5)\Delta z\right)\\ H_y(i,j,k)\Rightarrow((i-0.5)\Delta x,(j-1)\Delta y,(k-0.5)\Delta z) \\ H_z(i,j,k)\Rightarrow((i-0.5)\Delta x,(j-0.5)\Delta y,(k-1)\Delta z) \end{aligned} Ex(i,j,k)⇒((i−0,5)Δx,(j−1)Δy,(k−1)Δz)Ey(i,j,k)⇒((i−1)Δx,(j−0.5)Δy,(k−1)Δz)Ez(i,j,k)⇒((i−1)Δx,(j−1)Δy,(k−0.5)Δz)Hx(i,j,k)⇒((i−1)Δx,(j−0.5)Δy,(k−0.5)Δz)Hy(i,j,k)⇒((i−0.5)Δx,(j−1)Δy,(k−0.5)Δz)Hz(i,j,k)⇒((i−0.5)Δx,(j−0.5)Δy,(k−1)Δz)
更新的时间步也是差 0.5 Δ t 0.5\Delta t 0.5Δt ：FDTD算法在离散的时间瞬间取样和计算场值,但是电场和磁场取样计算并不是在相同的时刻。对时间步 Δ t \Delta t Δt,电场E的取样时刻为:0, Δ t \Delta t Δt,2 Δ t \Delta t Δt,3 Δ t \Delta t Δt，...,n Δ t \Delta t Δt；而磁场H取样时刻为:0.5 Δ t \Delta t Δt,1.5 Δ t \Delta t Δt,2.5 Δ t \Delta t Δt,...(n+0.5) Δ t \Delta t Δt。即电场取样在时间的整数步长时刻,而磁场取样时刻为半整数时间步时刻。它们之间的时间差为半个时间步。
因此，考虑一个上面得到的麦克斯韦的方程（以Ex方向为例）：
∂ E x ∂ t = 1 ε x ( ∂ H z ∂ y − ∂ H y ∂ z − σ x e E x − J i r ) \frac{\partial E_x}{\partial t}=\frac1{\varepsilon_x}\left(\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\sigma_x^eE_x-J_{ir}\right) ∂t∂Ex=εx1(∂y∂Hz−∂z∂Hy−σxeEx−Jir)
观察其导数项，分别有时间的差分项 ∂ E x ∂ t \frac{\partial E_x}{\partial t} ∂t∂Ex和空间的差分项 ∂ H z ∂ y \frac{\partial H_z}{\partial y} ∂y∂Hz和 ∂ H y ∂ z \frac{\partial H_y}{\partial z} ∂z∂Hy。
方程中的导数可以用中心差分来近似，此时 E x n ( i , j , k ) E_x^n(i,j,k) Exn(i,j,k)的位置为中心差分公式的中心点，而时间上应以 ( n + 0.5 ) Δ t (n+0.5)\Delta t (n+0.5)Δt作为中心点（因为电场E的取样时刻为:0, Δ t \Delta t Δt,2 Δ t \Delta t Δt,3 Δ t \Delta t Δt，...,n Δ t \Delta t Δt，而 ( n + 0.5 ) Δ t (n+0.5)\Delta t (n+0.5)Δt差分后可以得到n和n+1，符合取样时刻）。因此，第一项 ∂ E x ∂ t \frac{\partial E_x}{\partial t} ∂t∂Ex可以写成如下的差分形式：
E x n + 0.5 ( i , j , k ) = E x n + 1 ( i , j , k ) − E x n ( i , j , k ) Δ t E_x^{n+0.5}(i,j,k)=\frac{E_x^{n+1}(i,j,k)-E_x^n(i,j,k)}{\Delta t} Exn+0.5(i,j,k)=ΔtExn+1(i,j,k)−Exn(i,j,k)
而空间的差分项 ∂ H z ∂ y \frac{\partial H_z}{\partial y} ∂y∂Hz可以写成：
∂ H z ∂ y = H z n + 1 2 ( i , j , k ) − H z n + 1 2 ( i , j − 1 , k ) Δ y \frac{\partial H_z}{\partial y}=\frac{H_z^{n+\frac12}(i,j,k)-H_z^{n+\frac12}(i,j-1,k)}{\Delta y} ∂y∂Hz=ΔyHzn+21(i,j,k)−Hzn+21(i,j−1,k)
2.3、得到差分方程
把所有项都写成差分形式，就可以得到3D的FDTD更新方程：
E x n + 1 ( i , j , k ) = C e x e ( i , j , k ) × E x n ( i , j , k ) + C e x h z ( i , j , k ) × ( H z n + 1 2 ( i , j , k ) − H z n + 1 2 ( i , j − 1 , k ) ) + C e x h y ( i , j , k ) × ( H y n + 1 2 ( i , j , k ) − H y n + 1 2 ( i , j , k − 1 ) ) + C e x j ( i , j , k ) × J i x n + 1 2 ( i , j , k ) \begin{aligned} E_{x}^{n+1}\left(i,j,k\right)& =C_{exe}(i,j,k)\times E_x^n(i,j,k) \\ &+C_{exhz}(i,j,k)\times(H_{z}^{n+\frac12}(i,j,k)-H_{z}^{n+\frac12}(i,j-1,k)) \\ &+C_{\mathrm{exhy}}(i,j,k)\times(H_y^{n+\frac12}(i,j,k)-H_y^{n+\frac12}(i,j,k-1)) \\ &+C_{exj}\left(i,j,k\right)\times J_{ix}^{n+\frac12}(i,j,k) \end{aligned} Exn+1(i,j,k)=Cexe(i,j,k)×Exn(i,j,k)+Cexhz(i,j,k)×(Hzn+21(i,j,k)−Hzn+21(i,j−1,k))+Cexhy(i,j,k)×(Hyn+21(i,j,k)−Hyn+21(i,j,k−1))+Cexj(i,j,k)×Jixn+21(i,j,k)
C开头的都是系数，为了书写方便，其实际的值为：
C e x e ( i , j , k ) = 2 ε z ( i , j , k ) − Δ t σ z e ( i , j , k ) 2 ε z ( i , j , k ) + Δ t σ z e ( i , j , k ) C e x h y ( i , j , k ) = 2 Δ t ( 2 ε z ( i , j , k ) + Δ t σ z e ( i , j , k ) ) Δ x C e x h y ( i , j , k ) = − 2 Δ t ( 2 ε z ( i , j , k ) + Δ t σ z e ( i , j , k ) ) Δ y C e x j ( i , j , k ) = − 2 Δ t 2 ε z ( i , j , k ) + Δ t σ z e ( i , j , k ) \begin{gathered} C_{exe}(i,j,k)= \frac{2\varepsilon_z(i,j,k)-\Delta t\sigma_z^e(i,j,k)}{2\varepsilon_z(i,j,k)+\Delta t\sigma_z^e(i,j,k)} \\ C_{exhy}(i,j,k)= \frac{2\Delta t}{(2\varepsilon_z(i,j,k)+\Delta t\sigma_z^e(i,j,k))\Delta x} \\ C_{{exhy}}(i,j,k)= -\frac{2\Delta t}{(2\varepsilon_z(i,j,k)+\Delta t\sigma_z^e(i,j,k))\Delta y} \\ C_{exj}\left(i,j,k\right) =-\frac{2\Delta t}{2\varepsilon_z(i,j,k)+\Delta t\sigma_z^e(i,j,k)} \end{gathered} Cexe(i,j,k)=2εz(i,j,k)+Δtσze(i,j,k)2εz(i,j,k)−Δtσze(i,j,k)Cexhy(i,j,k)=(2εz(i,j,k)+Δtσze(i,j,k))Δx2ΔtCexhy(i,j,k)=−(2εz(i,j,k)+Δtσze(i,j,k))Δy2ΔtCexj(i,j,k)=−2εz(i,j,k)+Δtσze(i,j,k)2Δt
当然，这只是6个方程中的一个，更加详细的方程参考：
MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法的1.3。看看对应的matlab代码是怎么写的（没有电流就可以省略Cexj）：
matlab
current_time = current_time + dt/2;
Ex(1:nx,2:ny,2:nz) = Cexe(1:nx,2:ny,2:nz).*Ex(1:nx,2:ny,2:nz) ...
+ Cexhz(1:nx,2:ny,2:nz).*...
(Hz(1:nx,2:ny,2:nz)-Hz(1:nx,1:ny-1,2:nz)) ...
+ Cexhy(1:nx,2:ny,2:nz).*...
(Hy(1:nx,2:ny,2:nz)-Hy(1:nx,2:ny,1:nz-1));
matlab
% General electric field updating coefficients
% Coeffiecients updating Ex
Cexe = (2*eps_r_x*eps_0 - dt*sigma_e_x) ...
./(2*eps_r_x*eps_0 + dt*sigma_e_x);
Cexhz = (2*dt/dy)./(2*eps_r_x*eps_0 + dt*sigma_e_x);
Cexhy = -(2*dt/dz)./(2*eps_r_x*eps_0 + dt*sigma_e_x);