dp--62. 不同路径/medium 理解度A

62. 不同路径

1、题目
2、题目分析
3、复杂度最优解代码示例
4、抽象与扩展

1、题目

一个机器人位于一个 m x n网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

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输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

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输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

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输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

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输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

2、题目分析

dp五部曲

1.定状态：（思考是否满足动规的3个特性）

dp数组：dp $n$ $m$ ；

下标的含义：i，j表示走到第i行第j列方格的可达路径数量

2.推方程：（分场景推导方程）

若当前是首行，dp $0$ $j$ = 1; （首行的方格只有一种办法可达，即横向的走）

若当前是首列，dp $i$ $0$ = 1; （首列的方格只有一种办法可达，即纵向的走）

若 i>=1,j>=1，dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j$ + dp $i$ $j-1$ ; （即第i行j列的方格，可以从上面走下来，或者从左边走下来）

3.初始化

dp数组第0行、及第0列的值都是1。表示从 $0$ $0$ 开始，首行只有横向走这一种方法可达；而首列也只有纵向走这一种方法可达。

非首行、首列的方格，则有2个来路，从上而来、或从左而来

4.遍历

由第2点的状态转移方程可知，本状态可由2个方向的状态转移而来：左、上。故i从小到大、j从小到大

5.举例

3、复杂度最优解代码示例

java 复制代码

    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[n][m];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 若 当前是首行，dp[0][j] = 1; （首行的方格只有一种办法可达，即横向的走）
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            // 若 当前是首列，dp[i][0] = 1; （首列的方格只有一种办法可达，即纵向的走）
            dp[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                // 若 i>=1,j>=1，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; （即第i行j列的方格，可以从上面走下来，或者从左边走下来）
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

4、抽象与扩展

通用动态规划的解法，见标题二