62. 不同路径
1、题目
一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 109
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2、题目分析
dp五部曲
1.定状态：（思考是否满足动规的3个特性）
dp数组：dp[n][m]；
下标的含义：i，j表示走到第i行第j列方格 的可达路径数量
2.推方程：（分场景推导方程）
若 当前是首行，dp[0][j] = 1; （首行的方格只有一种办法可达，即横向的走）
若 当前是首列，dp[i][0] = 1; （首列的方格只有一种办法可达，即纵向的走）
若 i>=1,j>=1，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; （即第i行j列的方格，可以从上面走下来，或者从左边走下来）
3.初始化
dp数组第0行、及第0列的值都是1。表示从[0][0]开始，首行只有横向走这一种方法可达；而首列也只有纵向走这一种方法可达。
非首行、首列的方格，则有2个来路，从上而来、或从左而来
4.遍历
由第2点的状态转移方程可知，本状态可由2个方向的状态转移而来：左、上。故i从小到大、j从小到大
5.举例
3、复杂度最优解代码示例
java
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[n][m];
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 若 当前是首行，dp[0][j] = 1; （首行的方格只有一种办法可达，即横向的走）
dp[i][0] = 1;
}
for (int j = 0; j < m; j++) {
// 若 当前是首列，dp[i][0] = 1; （首列的方格只有一种办法可达，即纵向的走）
dp[0][j] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
// 若 i>=1,j>=1，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; （即第i行j列的方格，可以从上面走下来，或者从左边走下来）
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}4、抽象与扩展
通用动态规划的解法，见标题二