线性调频信号的解线调
线性调频信号的回波模型
对于线性调频脉冲压缩雷达，其发射信号为：
s ( t ) = r e c t ( t T ) e x p ( j π μ t 2 ) \begin{equation} s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi \mu t^2) \end{equation} s(t)=rect(Tt)exp(jπμt2)
其中
r e c t ( t T ) = { 1 , 0 ≤ t ≤ T 0 , o t h e r w i s e . \begin{equation} rect(\frac{t}{T})= \left\{ \begin{array}{ll} 1, & 0\leq t \leq T\\ 0, & otherwise. \end{array} \right. \end{equation} rect(Tt)={1,0,0≤t≤Totherwise.
其中 t t t为快时间变量， T T T为脉冲宽度， μ \mu μ为调频斜率， B = T μ B=T\mu B=Tμ为雷达信号的带宽，搭载到载频上的发射信号为：
s ( t ) = r e c t ( t T ) e x p ( j π μ t 2 ) e x p ( j 2 π f c t ) \begin{equation} s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi \mu t^2)exp(j2\pi f_c t) \end{equation} s(t)=rect(Tt)exp(jπμt2)exp(j2πfct)
假设单目标的情况，目标位于 R t a r R_{tar} Rtar处，接收到的回波信号表达式为
s r ( t ) = r e c t ( t − t 0 T ) e x p ( j π μ ( t − t 0 ) 2 ) e x p ( j 2 π f c ( t − t 0 ) ) \begin{equation} s_r(t)=rect(\frac{t-t_0}{T})exp(j\pi \mu (t-t_0)^2)exp(j2\pi f_c (t-t_0)) \end{equation} sr(t)=rect(Tt−t0)exp(jπμ(t−t0)2)exp(j2πfc(t−t0))
其中 t 0 = 2 R t a r / c t_0=2R_{tar}/c t0=2Rtar/c。
参考信号
参考信号同样是一个线性调频信号，调频斜率、载频与雷达发射的信号一样，但是脉宽大于雷达发射线性调频信号的 T T T，这个脉宽其实就是一个信号处理窗，我们接收到一个脉冲重复周期的雷达回波之后，对选定的一段信号进行处理，这一段信号的长度就是窗，因为我们不知道雷达回波中的脉冲位置，所以选取的窗应该至少等于脉冲宽度才能将其"覆盖"住。参考信号可以表示为：
s r e f ( t ) = r e c t ( t − t r e f T r e f ) e x p ( j π μ ( t − t r e f ) 2 ) e x p ( j 2 π f c ( t − t r e f ) ) \begin{equation} s_{ref}(t)=rect(\frac{t-t_{ref}}{T_{ref}})exp(j\pi \mu (t-t_{ref})^2)exp(j2\pi f_c (t-t_{ref})) \end{equation} sref(t)=rect(Treft−tref)exp(jπμ(t−tref)2)exp(j2πfc(t−tref))
其中， t r e f = 2 R r e f / c t_{ref}=2R_{ref}/c tref=2Rref/c， c c c为光速， R r e f R_{ref} Rref是参考距离， T r e f T_{ref} Tref是接收窗，一般而言 T r e f > T T_{ref}>T Tref>T。
图1 雷达回波和参考信号示意图
去斜处理
解线调就是将雷达回波和参考信号的共轭进行混频
s d e ( t ) = s r ( t ) ⋅ s r e f ∗ ( t ) = r e c t ( t − t 0 T ) e x p ( j 2 π ( − μ ( t 0 − t r e f ) ) t ) e x p ( − f c ( t 0 − t r e f ) ) e x p ( 1 / 2 μ ( t 0 2 − t r e f 2 ) ) ) \begin{equation} s_{de}(t)=s_r(t)\cdot s_{ref}^{*}(t)=rect(\frac{t-t_0}{T})exp(j2\pi (-\mu (t_0-t_{ref}))t)exp(-f_c(t_0-t_{ref}))exp(1/2\mu(t_0^2-t_{ref}^2))) \end{equation} sde(t)=sr(t)⋅sref∗(t)=rect(Tt−t0)exp(j2π(−μ(t0−tref))t)exp(−fc(t0−tref))exp(1/2μ(t02−tref2)))
上面式子中一共有3个指数项，且只有第一个指数项是时间 t t t的函数，后面两个记为 e x p ( j ϕ ) exp(j\phi) exp(jϕ)，则可以化简为：
s d e ( t ) = s r ( t ) ⋅ s r e f ∗ ( t ) = r e c t ( t − t 0 T ) e x p ( j 2 π ( − μ ( t 0 − t r e f ) ) t ) e x p ( j ϕ ) \begin{equation} s_{de}(t)=s_r(t)\cdot s_{ref}^{*}(t)=rect(\frac{t-t_0}{T})exp(j2\pi (-\mu (t_0-t_{ref}))t)exp(j\phi) \end{equation} sde(t)=sr(t)⋅sref∗(t)=rect(Tt−t0)exp(j2π(−μ(t0−tref))t)exp(jϕ)
可以看到解线调后的信号是一个单频信号，其频率为 f = − μ ( t 0 − t r e f ) f=-\mu (t_0-t_{ref}) f=−μ(t0−tref)，它是调频斜率 − μ -\mu −μ和相对时间 ( t 0 − t r e f ) (t_0-t_{ref}) (t0−tref)的函数， ( t 0 − t r e f ) (t_0-t_{ref}) (t0−tref)也就是雷达回波的脉冲相对于参考信号时间窗的延时。 t r e f t_{ref} tref是已知的，那么由解线调信号的频率便可以得到目标的延时。
去斜处理傅里叶变换得到脉压结果
我么对解线调信号进行傅里叶变换
S d e ( f ) = F { s d e ( t ) } = ∫ s d e ( t ) e x p ( − j 2 π f t ) d t = T r e f e x p ( j φ ( f ) ) s i n c ( T r e f ( f − f t a r ) ) \begin{equation} S_{de}(f)=\mathcal{F}\{s_{de}(t) \}=\int s_{de}(t)exp(-j2\pi ft)dt=T_{ref}exp(j\varphi (f))sinc(T_{ref}(f-f_{tar})) \end{equation} Sde(f)=F{sde(t)}=∫sde(t)exp(−j2πft)dt=Trefexp(jφ(f))sinc(Tref(f−ftar))
其中 f t a r f_{tar} ftar和 R t a r R_{tar} Rtar具有以下关系：
R t a r = R r e f + ( c ⋅ f t a r ) / ( 2 μ ) \begin{equation} R_{tar}=R_{ref}+(c\cdot f_{tar})/(2\mu) \end{equation} Rtar=Rref+(c⋅ftar)/(2μ)
整个流程如下图所示，解线调之后由频域图可以得到和匹配滤波相同的结果，它们都是sinc函数。
图2 解线调流程图及时频图
解线调仿真
下面仿真的例子：
线性调频信号的带宽为2MHz，采样频率为8MHz，雷达发射线性调频信号脉宽50us，解线调脉宽100us。
matlab
%%Dechirp仿真，解线性调频
% 雷达信号采用线性调频信号，
% 主要内容：线性调频信号的生成、雷达回波的模拟、解线调参考信号生成、解线调操作、结果绘制
% Author: baidan @beijing 2023.1.11
%=========================================================================%
% 雷达参数设置 %
%=========================================================================%
clear all;close all;clc;
C = 3.0e8; %光速（m/s）
BandWidth = 2.0e6; %雷达发射信号带宽，带宽=B=1/tau，tau是脉冲宽度
TimeWidth = 50.0e-6; %雷达发射信号的脉冲时宽
k = BandWidth/TimeWidth;%调频斜率
PRT = 100e-6; %雷达发射脉冲重复周期（s），100us对应1/2*100*300=15000米最大无模糊距离
Fs = BandWidth*4; %采样频率 采样点数为PRT*FS=480
NoisePower = 1; %噪声功率
SNR = 0; %信噪比，以dB为单位
SigPower = 10^(SNR/10); %目标功率，无量纲
TargetDistance = 2500; %目标距离，单位：
TargetDelay = 2*TargetDistance/C; %延时时间，由目标的距离换算成时间，即线性调频信号的时间
mDelayNumber = fix(Fs*2*TargetDistance/C); %把目标距离换算成采样点（距离门）
plot_enable_H = 1; %绘图控制符
plot_enable_L = 0; %绘图控制符
%=========================================================================%
% 调用函数产生线性调频信号 %
%=========================================================================%
[LFMPulse,targetEchoPRT,matchedFilterCoeff,pulseNumber,PRTNumber] = GenerateLFMSignal(BandWidth,TimeWidth,PRT,Fs,SigPower,TargetDistance,plot_enable_L);%调用函数
fprintf('Target appear in the %.1f us, distence is %.1f m, at %dth sampling point\n',TargetDelay*1e6,TargetDistance,mDelayNumber);
%=========================================================================%
% % 产生功率为1高斯白噪声并添加噪声 %
% %=========================================================================%
noise = GaussianNoise(PRT,Fs);
%mixedSignal = targetEchoPRT + noise; %添加噪声
mixedSignal = targetEchoPRT; %不添加噪声
%=========================================================================%
% 产生参考信号 %
%=========================================================================%
[referSig,sigSamNumber] = ReferenceSignal(k,PRT,Fs,plot_enable_H); %四个参数分别是调频斜率，脉宽，采样率，绘图控制符
sref = referSig; %进行共轭
sde = targetEchoPRT.*(sref); %雷达回波和参考信号相乘
Sde = fftshift(fft(sde))*2/1600; % 对dechirp之后的信号进行fft
f=Fs*(0:PRTNumber-1)/PRTNumber-Fs/2;% -fs/2到 fs/2
figure;
subplot(4,1,1);plot(real(targetEchoPRT),'linewidth',1);axis tight;title('Target echo '); %绘制雷达回波
subplot(4,1,2);plot(real(sref),'linewidth',1);axis tight;title('Reference signal'); %绘制参考信号
subplot(4,1,3);plot(real(sde),'linewidth',1);axis tight;title('Dechirp signal'); %绘制参考信号
subplot(4,1,4);plot(f,(abs(Sde)),'linewidth',1);axis tight;title('fft of Dechirp signal'); %绘制参考信号其中的子函数，产生线性调频信号：
matlab
function [LFMPulse,targetEchoPRT,matchedFilterCoeff,pulseNumber,PRTNumber] = GenerateLFMSignal(bandWidth,pulseDuration,PRTDuration,samplingFrequency,signalPower,targetDistece,plotEnableHigh)
% 该函数用于产生线性调频信号，以及雷达的目标反射回波，仅产生单个回波
% Author:壮神 2023.9.21 @Beijing
% Input :
% * bandWidth: 信号带宽 ，参考值：2.0e6 表示2MHz
% * pulseDuration：脉冲持续时间，参考值：40.0e-6 表示40ms
% * PRTDuration：脉冲重复周期，参考值：240ms
% * samplingFrequency：采样频率，参考值：2倍的信号带宽
% * signalPower：信号能量，参考值：1
% * targetDistece：目标距离，最大无模糊距离由脉冲重复周期决定。计算公式：1/2*PRTDuration*光速
% * plotEnableHigh： 绘图控制符，1：打开绘图，0：关闭绘图
% Output :
% * LFMPulse：线性调频信号
% * targetEchoPRT： 目标反射回波
% * matchedFilterCoeff： 匹配滤波器系数
% * pulseNumber：当前采样率下线性调频信号的采样点数
% * PRTNumber：1个PRT对应的采样点数
C = 3.0e8; %光速（m/s）
BandWidth = bandWidth; %雷达发射信号带宽，带宽=B=1/tau，tau是脉冲宽度
TimeWidth = pulseDuration; %雷达发射信号的脉冲时宽
PRT = PRTDuration; %雷达发射脉冲重复周期（s），240us对应1/2*240*300=360000米最大无模糊距离
Fs = samplingFrequency; %采样频率
SampleNumber = fix(Fs*PRT);
%=========================================================================%
% 目标参数设置 %
%=========================================================================%
SigPower = signalPower; %目标功率，无量纲
TargetDistance = targetDistece; %目标距离，单位：m
DelayNumber = fix(Fs*2*TargetDistance/C); %把目标距离换算成采样点（距离门）
fprintf('目标出现在距离门%d\n',DelayNumber);
%=========================================================================%
% 产生线性调频信号、匹配滤波器 %
%=========================================================================%
number = fix(Fs*TimeWidth); %回波采样点数=脉压系数长度=暂态点数目+1
if rem(number,2)~=0
nember = nember + 1;
end
Chirp = zeros(1,number);
for i = -fix(number/2):fix(number/2)-1
Chirp(i+fix(number/2)+1)=exp(1j*(pi*(BandWidth/TimeWidth)*(i/Fs)^2));%产生复ChIrp信号
end
coeff = conj(fliplr(Chirp)); %把Chirp信号翻转并把复数共轭，产生脉压系数
%=========================================================================%
% 绘制线性调频信号 %
%=========================================================================%
if plotEnableHigh == 1
figure;
plot(real(Chirp)); %绘制线性调频信号
xlabel('Sampling points'); ylabel('Amplitude');title('线性调频信号实部');
end
SignalTemp = zeros(1,SampleNumber); %1个PRT
SignalTemp(DelayNumber+1:DelayNumber+number) = sqrt(SigPower)*Chirp;%将线性调频信号按照距离进行延时
if plotEnableHigh == 1
figure;
plot(real(SignalTemp)); %绘制1个完整的PRT的雷达回波信号
xlabel('Range bin'); ylabel('Amplitude');title('雷达回波的实部');
end
%=========================================================================%
% 进行脉冲压缩 %
%=========================================================================%
Echo = SignalTemp; % 目标回波
pc_time0 = conv(Echo,coeff); % 回波和滤波器卷积的结果
pc_time1 = pc_time0(number:number+SampleNumber-1); %去掉暂态点
realTargetRange = find(abs(pc_time1)==max(abs(pc_time1)))-1; %由脉压结果目标距离
fprintf('The target range bin is %d',realTargetRange);
if plotEnableHigh == 1
figure; %时域脉压结果
subplot(2,1,1);plot(abs(pc_time0),'r-');
xlabel('Range bin'); ylabel('Amplitude');title('时域脉压结果');
subplot(2,1,2);plot(abs(pc_time1),'r-');
xlabel('Range bin'); ylabel('Amplitude');title('去掉暂态点的时域脉压结果');
end
%=========================================================================%
% 返回参数 %
%=========================================================================%
LFMPulse = Chirp; %线性调频信号
targetEchoPRT = SignalTemp; %目标反射回波
matchedFilterCoeff = coeff; %匹配滤波器系数
pulseNumber = number; %线性调频信号的采样点数
PRTNumber = SampleNumber; %目标反射回波的采样点数
end其中的子函数，产生解线调参考信号：
matlab
function [referSig,sigSamNumber] = ReferenceSignal(chirpRate,windowDuration,samplingFrequency,plotEnableHigh)
% 该函数用于产生dechirp雷达的参考信号
% Author:王壮壮 2024.1.14 @shenzhen
% Input :
% * chirpRate: 调频斜率
% * windowDuration：接收信号的时间窗，一般要大于雷达的线性调频信号的脉宽
% * samplingFrequency：采样频率，参考值：2倍的信号带宽
% * plotEnableHigh： 绘图控制符，1：打开绘图，0：关闭绘图
% Output :
% * referSig：参考信号，也是一个线性调频信号，但是脉宽要大于雷达发射的LFM信号
% * pulseNumber：当前采样率下线性调频信号的采样点数
C = 3.0e8; %光速（m/s）
TimeWidth = windowDuration; %接收窗的时宽
Fs = samplingFrequency; %采样频率
%=========================================================================%
% 产生线性调频信号 %
%=========================================================================%
number = fix(Fs*TimeWidth); %采样点数
if rem(number,2)~=0
nember = nember + 1;
end
% Chirp = zeros(1,number);
for i = -fix(number/2):fix(number/2)-1
Chirp(i+fix(number/2)+1)=exp(1j*(pi*chirpRate*(i/Fs)^2));%产生复ChIrp信号
end
%=========================================================================%
% 返回参数 %
%=========================================================================%
referSig = conj(Chirp); %对复chirp信号进行共轭得到参考信号
sigSamNumber = number; %参考信号的采样点数
%=========================================================================%
% 分析参考信号的频域 %
%=========================================================================%
CHIRP = fftshift(fft(referSig))*2/sigSamNumber; %对参考信号进行fft得到它的频域
frequency_index = Fs*(0:sigSamNumber-1)/sigSamNumber-Fs/2; %频率下标
%=========================================================================%
% 绘制参考信号 %
%=========================================================================%
if plotEnableHigh == 1
figure;
subplot(2,1,1);plot((1:sigSamNumber),real(Chirp)); %绘制参考信号的时域波形
xlabel('Sampling points'); ylabel('Amplitude');title('参考信号实部');
subplot(2,1,2);plot(frequency_index,abs(CHIRP)); %绘制参考信号的频谱图
xlabel('Frequency/Hz'); ylabel('Amplitude');title('参考信号的频谱');
end
end绘制图形如下：
图3 参考信号时频图
图4 解线调信号时频图
总结
去斜处理的主要原理为用发射副本信号与回波混频得到基带信号，再用傅里叶变换提取基带信号频率，通过时域到频域的转换将时域脉冲信号压缩为频域上的一个峰。匹配滤波和解线调其实都是一个sinc函数乘以一个复指数项的形式，两者的sinc函数一个位于快时间域一个位于距离频率域。去斜处理在一些特殊场合，不仅运算简单，而且可以简化设备，已经广泛应用于SAR和ISAR中作脉冲压缩。