文章目录
图的基础理论及networkx简介
图的基本概念
- 无向图和有向图
- 简单图和完全图：重边、环、孤立点
- 赋权图/网络
- 顶点的度
- 子图与生成子图
- 路与回路、迹、path、圈
- 连通图与非连通图
图的表示及Networkx简介
图的表示
考虑简单图
-
关联矩阵表示
-
邻接矩阵表示
对于赋权图而言，邻接矩阵中的数值改为对应边的权值就得到对应的无向/有向赋权图
NetworkX简介
python语言
图论与复杂网络建模工具
内置常用图与复杂网络分析算法
绘图布局
图形布局共五种
- circular_layout：顶点在一个圆环上均匀分布；
- random_layout：顶点随机分布；
- shell_layout：顶点在同心圆上分布；
- spring_layout： 用Fruchterman-Reingold算法排列顶点；
- spectral_layout：根据图的拉普拉斯特征向量排列顶点
最短路算法及其Python实现
Dijkstra（迪克斯特拉）标号算法和Floyd（弗洛伊德）算法
Dijkstra标号算法只适用于边权是非负的情形
最短路问题也可以归结为一个0-1整数规划模型
固定起点到其余各点的最短路算法
Dijkstra（迪克斯特拉）标号算法
赋权图 G ( V , E , W ) G(V,E,W) G(V,E,W)，其中顶点集 V = { v 1 , . . . , v n } V=\{v_1, ..., v_n\} V={v1,...,vn}， 边集 E E E，邻接矩阵 W = ( w i j ) n x n W=(w_{ij}){n x n} W=(wij)nxn，且 w i j w{ij} wij满足
记号确定
d ( u 0 , v 0 ) d(u_0, v_0) d(u0,v0) ：顶点 u 0 u_0 u0到顶点 v 0 v_0 v0的最短距离
l ( v ) l(v) l(v)：起点 u 0 u_0 u0到 v v v的当前路长度
z ( v ) z(v) z(v)：顶点 v v v的父顶点标号
S i S_i Si：具有永久标号的顶点集
每对顶点间的最短路算法
Floyd（弗洛伊德）算法
动态规划算法，递推产生矩阵序列 A 1 , A 2 , . . . , A k , . . . , A n A_1, A_2, ..., A_k, ..., A_n A1,A2,...,Ak,...,An，矩阵 A k = ( a k ( i , j ) ) n x n A_k=(a_k(i,j))nxn Ak=(ak(i,j))nxn，第 i i i行第 j j j列元素 a k ( i , j ) a_k(i,j) ak(i,j)表示从顶点 v i v_i vi到顶点 v j v_j vj路径上顶点数不大于 k k k的最短路径长度
迭代公式
networkx求所有顶点对之间最短路径的函数为
shortest_path(G, source=None, target=None, weight=None, method='dijkstra')，返回值是可迭代类型，其中method可以取值dijkstra，bellman-ford
最短路应用
设备更新问题
转化为最短路问题
赋权有向图 D = ( V , A , W ) D=(V, A, W) D=(V,A,W)，顶点集 V = { v 1 , v 2 , . . . , v 5 } V=\{v_1, v_2, ..., v_5\} V={v1,v2,...,v5}， v i v_i vi（ i = 1 , 2 , 3 , 4 i=1, 2, 3, 4 i=1,2,3,4）表示第 i i i年年初， v 5 v_5 v5表示第4年年末，A为边集，W为邻接矩阵， w i j w_{ij} wij为第 i i i年年初到第 j j j年年初/第 j − 1 j-1 j−1年年末所支付的费用，计算公式为
w i j = p i + ∑ i j − 1 a k − r j w_{ij} = p_i+\sum_i^{j-1}a_k-r_j wij=pi+i∑j−1ak−rj
说明： p i p_i pi为第 i i i年年初机器的购置费用， a k a_k ak为第 k k k年的机器维护费用， r i r_i ri为第 i i i年末机器的出售价格
根据这个公式计算得到邻接矩阵 W W W，并且原问题转化为求解 v 1 v_1 v1到 v 5 v_5 v5的费用最短路
结果
重心问题/选址问题
问题转化：求出各个顶点对之间的最短距离，然后得到某一顶点到其他各个顶点的（最短重量·距离）和最小，这个顶点即为所求
计算结果展示
最小生成树算法及其networkx实现
基本概念
- 树：连通的五圈图
- 树的判定定理：n个顶点m条边的图
- 生成树、最小生成树
最小生成树算法
Kruskal算法和Prim算法
Kruskal算法
贪心，每次选择权值最小的边加入子图T，并保证不形成环，直到子图中包含 n − 1 n-1 n−1条边为止
Prim算法
使用两个集合 P P P和 Q Q Q，从任意 p ∈ P p \in P p∈P， v ∈ V − P v \in V-P v∈V−P，选择最小权值的边 p v pv pv，将 v v v加入 P P P， p v pv pv加入Q，直到 P = V P=V P=V为止
说明：对比Kruskal算法和Prim算法，Kruskal算法是显式地说明了不能在生成子图中出现环，Prim算法则是通过设定选定新边的一个顶点在 P P P集合，一个顶点在 V − P V-P V−P集合这样隐式保证的
NetworkX提供接口
T=minimum_spanning_tree(G, weight='weight', algorithm='kruskal')
G为输入图
algorithm的取值有三种字符串：'kruskal'，'prim'，或'boruvka'，缺省值为'kruskal'
返回值T为所求得的最小生成树的可迭代对象
示例
最小生成树应用
说明：从这个题看出最小生成树和最短路算法的区别，最短路在找的是各个节点到某个节点的最短，而最小生成树在找的是一条通过全部节点的最短路
结果
匹配问题
问题转化：赋权图 G = ( V , E , W ^ ) G=(V, E, \hat{W}) G=(V,E,W^) ，顶点集 V = { v 1 , v 2 , . . . , v 10 } V=\{v_1, v_2, ..., v_{10}\} V={v1,v2,...,v10}， v 1 , v 2 , . . . , v 5 v_1, v_2, ..., v_5 v1,v2,...,v5表示5个人， v 6 , v 7 , v 8 , v 9 , v 10 v_6, v_7, v_8, v_9, v_{10} v6,v7,v8,v9,v10表示5项工作，邻接矩阵 W ^ \hat{W} W^满足
代码：
python
import numpy as np
import networkx as nx
from networkx.algorithms.matching import max_weight_matching
a=np.array([[3,5,5,4,1],[2,2,0,2,2],[2,4,4,1,0],
[0,2,2,1,0],[1,2,1,3,3]])
b=np.zeros((10,10)); b[0:5,5:]=a; G=nx.Graph(b)
#返回值为（人员，工作）的集合
s0=max_weight_matching(G)
s=[sorted(w) for w in s0]
L1=[x[0] for x in s]; L1=np.array(L1)+1 #人员编号
L2=[x[1] for x in s]; L2=np.array(L2)-4 #工作编号
c=a[L1-1,L2-1] #提取对应的效益
d=c.sum() #计算总的效益
print("工作分配对应关系为：\n人员编号：",L1)
print("工作编号：", L2); print("总的效益为：",d)最大流最小费用问题
网络流问题------如何安排使流量最大，即最大流问题，如公路系统中有车辆流、物资调配系统中有物资流、金融系统中有现金流等
基本概念
- 有向图 D ( V , A ) D(V, A) D(V,A)、源点 v s v_s vs、汇点 v t v_t vt、弧容量 c ( v i , v j ) ≥ 0 c(v_i, v_j) \geq 0 c(vi,vj)≥0 、网络流 f ( v i , v j ) f(v_i, v_j) f(vi,vj)
- 可行流的条件
- 增广路
最大流问题可写为这样一个线性规划问题
Ford-Fulkerson算法寻求最大流
使用NetworkX求解网络最大流
最小费用流问题
标号说明
f i j f_{ij} fij为弧 ( v i , v j ) (v_i, v_j) (vi,vj)上的流量， b i j b_{ij} bij为弧 ( v i , v j ) (v_i, v_j) (vi,vj)上的单位费用， c i j c_{ij} cij为弧 ( v i , v j ) (v_i, v_j) (vi,vj)上的容量，问题转化为下面的线性规划问题
当 v = v m a x v=v_{max} v=vmax时，问题有解；当 v > v m a x v > v_{max} v>vmax时，问题无解
使用NetworkX求解问题
代码：
python
import numpy as np
import networkx as nx
L=[(1,2,5,3),(1,3,3,6),(2,4,2,8),(3,2,1,2),(3,5,4,2),
(4,3,1,1),(4,5,3,4),(4,6,2,10),(5,6,5,2)]
G=nx.DiGraph()
for k in range(len(L)):
G.add_edge(L[k][0]-1,L[k][1]-1, capacity=L[k][2], weight=L[k][3])
mincostFlow=nx.max_flow_min_cost(G,0,5)
print("所求流为：",mincostFlow)
mincost=nx.cost_of_flow(G, mincostFlow)
print("最小费用为：", mincost)
flow_mat=np.zeros((6,6),dtype=int)
for i,adj in mincostFlow.items():
for j,f in adj.items():
flow_mat[i,j]=f
print("最小费用最大流的邻接矩阵为：\n",flow_mat)PageRank算法
引文分析思想
当网页甲有一个链接指向网页乙，就认为乙获得了甲对它贡献的分值，该值的多少取决于网页甲本身的重要程度，即网页甲的重要性越大，网页乙获得的贡献值就越高。
由于网络中网页链接的相互指向，pagerank分值计算为一个迭代过程，最终网页根据所得分值进行排序
假设
我们在上网时浏览页面并选择下一个页面的过程，与过去浏览过哪些页面无关，而仅依赖于当前所在的页面。
这一选择过程可以认为是一个有限状态、离散时间的随机过程，其状态转移规律用Markov链描述
说明： a i j a_{ij} aij表示从页面 i i i转移到页面 j j j的概率， 1 − d N \frac{1-d}{N} N1−d为随机跳转时到页面 j j j的概率， d b i j r i d \frac{b_{ij}}{r_i} dribij为根据连接进行跳转到页面 j j j的概率
再根据正则Markov的平稳分布，得到各个网页被访问的概率分布，这个概率就被定义为各个网页的PageRank值
使用NetworkX求解
复杂网络简介
重点关注复杂网络的统计性质，并使用NetworkX计算
复杂网络概况
复杂网络 ：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络
特征 ：结构复杂、网络进化、连接多样性、动力学复杂性、节点多样性
研究内容 ：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题
基本测度：度（degree）及其分布特征，度的相关性，集聚程度及其分布特征，最短距离及其分布特征，介数(betweenness)及其分布特征，连通集团的规模分布
- 节点的度和度分布：度分布一般用直方图展示， A 2 A^2 A2的对角元素 a i i 2 a_{ii}^2 aii2即为节点 v i v_i vi的度，平均度 < k > = t r ( A 2 ) / N <k> = tr(A^2)/N <k>=tr(A2)/N
- 平均路径长度，网络直径
- 聚类系数
代码：
python
import numpy as np
import networkx as nx
L=[(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),
(4,5),(4,6)]
G=nx.Graph() #构造无向图
G.add_nodes_from(range(1,7)) #添加顶点集
G.add_edges_from(L)
D=nx.diameter(G) #求网络直径
LH=nx.average_shortest_path_length(G) #求平均路径长度
Ci=nx.clustering(G) #求各顶点的聚类系数
C=nx.average_clustering(G) #求整个网络的聚类系数
print("网络直径为：",D,"\n平均路径长度为：",LH)
print("各顶点的聚类系数为：")
for index,value in enumerate(Ci.values()):
print("(顶点v{:d}: {:.4f})；".format(index+1,value),end=' ')
print("\n整个网络的聚类系数为：{:.4f}".format(C))