【算法详解】力扣69.x的平方根

桐秋廿2024-01-21 11:22

一、题目描述

力扣链接：力扣69.x的平方根

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。

由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

二、思路分析

可以使用二分查找法来逼近一个数的平方根

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int left = 0, right = x, result = 0;

        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) >> 1;

            if ((long long)mid * mid <= x) {
                result = mid;
                left = mid + 1;
            }
            else {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return result;
    }
};

牛顿迭代法是一种用于寻找方程根的数值方法，它可以用来求解平方根。对于求解方程 f(x) = 0，牛顿迭代法的迭代公式为：

x n + 1 = x n − f ( x n ) f ' ( x n ) x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f^`(x_n)} xn+1=xn−f'(xn)f(xn)

对于求解 x = 0 \sqrt{x}=0 x =0，则可以令 f ( x ) = x 2 − a f(x)=x^2-a f(x)=x2−a其中 a 是要求平方根的非负整数。

那么迭代公式就变为：

x n + 1 = 0.5 ∗ ( x n + f ( x n ) f ' ( x n ) ) x_{n+1}=0.5*(x_{n}+\frac{f(x_n)}{f^`(x_n)}) xn+1=0.5∗(xn+f'(xn)f(xn))

那么可以写出C++代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }

        double result = x;
        double epsilon = 1e-6;

        while (fabs(result * result - x) > epsilon) {
            result = 0.5 * (result + x / result);
        }
        return static_cast<int>(result);
    }
};