模板
1. Tarjan
一个讲的很好的视频：D10 Tarjan算法 P3379【模板】最近公共祖先（LCA）_哔哩哔哩_bilibili，董晓算法出品。
Tarjan总体来说可以概括为：
-
记录访达：记录某个节点是否已经访问过，防环
-
向下深搜：深搜子节点
-
回溯指父：低层回溯时将子节点归于当前父节点所在等价类中
-
离时查询：本层向上回溯时查询与当前节点所有相关的LCA，记录答案
package Tarjan.LCA;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;public class TarjanLCA {
private List<Integer>[] e;
private List<int[]>[] query;
private int[] fa;
private boolean[] vis;
private int[] ans;/** * 求LCA * @param edge 边集 * @param queries 查询 * @param n 总共几个节点 * @return 查询对应的LCA集合 */ public int[] Tarjan(int[][] edge,int[][] queries,int n,int root){ e = new ArrayList[n]; Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>()); query = new ArrayList[n]; Arrays.setAll(query,e->new ArrayList<>()); fa = new int[n]; for (int i = 0; i < fa.length; i++) { fa[i] = i; } vis = new boolean[n]; Arrays.fill(vis,false); ans = new int[queries.length]; // 邻接表建边 for (int[] es : edge) { e[es[0]].add(es[1]); e[es[1]].add(es[0]); } // tarjan 查询数组 for (int i = 0; i < queries.length; i++) { int[] qs = queries[i]; query[qs[0]].add(new int[]{qs[1],i}); query[qs[1]].add(new int[]{qs[0],i}); } dfs(root); return ans; } private void dfs(int node){ vis[node] = true; for (Integer child : e[node]) { if(!vis[child]){ dfs(child); fa[child] = node; } } // 向上一层返回时记录LCA for (int[] q : query[node]) { if(vis[q[0]]){ ans[q[1]] = find(q[0]); } } } private int find(int x){ if(fa[x]!=x){ fa[x] = find(fa[fa[x]]); } return fa[x]; }}
这里有几个要注意的地方：
- 查询数组记得要对称设置，比如查3，4的lca，3要放1个，4也要放1个。因为到底哪个先深搜到是不确定的。比如就放了3的，那如果先深搜到3，发现此时4压根就没指父过（压根没访问到），这个查询对应的答案就没法记录了。所以都放一个绝对可以防止深搜顺序的不确定性。
- 并查集的路径压缩并不会影响查询结果。因为是回溯时查询，所以绝对是从低层起的，随着逐渐往根处的回溯，并查集中等价类会逐渐向根扩张，并以根为祖宗节点。
这里放一个例子，可以对照代码手玩一下：
0
/ \
4 3
/|\ \
1 5 6 8
/ \
2 7
测试用例可自选。
1. LC 2846 边权重均等查询
树的定义是连通无回路的图，所以会有以下性质：
- 任意两个节点间有且仅有一条通路
- 任意节点至多有一个父节点
所以要查询任意两个节点之间的最小操作次数，可以唯一地确定答案。因为这两个节点之间存在且仅只存在一条通路。
这个贪心其实很显然，就是对于一条链，让其他权重向频率最大的那个靠近即可。比如这条链上的权重为：
[ 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 ]
很显然答案是把1和3全部变成2，操作次数是3。
那么怎么计算这条链上的操作次数呢？这里定义i→j为从节点i到节点j上的链上各权重出现频次。计算公式为：
op(i->j) = ∑(op(0->i) + op(0->j) - 2*op(0->lca(i,j)))
其中lca表示最近公共祖先
举个例子：
0
/ \
4 3
/|\ \
1 5 6 8
/ \
2 7
- 假设我们要看6→7这条链，那么可以计算 0→6 + 0→7 - 0→4 - 0→4的各权重出现频次。因为0→4多算了两次那么这个公式是否具有普适性呢？
- 假设现在要看4→3这条链，可以计算0→4+0→3 - 2* 0→0，也是适用的。
所以思路就是，我们先通过深搜，求出来每个节点到根节点（一颗无向树，谁都可以作为根节点，不妨设为0）0的链上各权重出现频次。然后利用tarjan求出来每组查询的公共祖先，带入上述公式计算即可。
深搜求频次的思路是：由于本层递归比上一层就多了一个上一层节点到本层节点的权重，因此我们可以复制上一层节点（本层节点的父节点）的各权重频次，再在当前权重上增1即可。
而利用性质2，可以简单的记录fa节点判环。但tarjan是不能这样做的，因为需要明确离时查询时另一个节点是否已经访问，并不只是简单的判环功能。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
class Solution {
List<int[]>[] e;
List<int[]>[] qs;
int[][] cnt;
int[] lca;
int[] fa;
boolean[] vis;
int[] ans;
public int[] minOperationsQueries(int n, int[][] edges, int[][] queries) {
e = new ArrayList[n];
qs = new ArrayList[n];
Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>());
Arrays.setAll(qs,e->new ArrayList<>());
int u,v,w;
//邻接表
for (int[] edge : edges) {
u = edge[0];
v = edge[1];
w = edge[2];
e[u].add(new int[]{v,w});
e[v].add(new int[]{u,w});
}
// tarjan 查询
for (int i = 0; i < queries.length; i++) {
int[] q = queries[i];
qs[q[0]].add(new int[]{q[1],i});
qs[q[1]].add(new int[]{q[0],i});
}
cnt = new int[n][26];
cnt_dfs(0,-1,0);
lca = new int[queries.length];
fa = new int[n];
for (int i = 0; i < fa.length; i++) {
fa[i] = i;
}
vis = new boolean[n];
Arrays.fill(vis,false);
tarjan(0);
ans = new int[queries.length];
calAns(queries);
return ans;
}
private void cnt_dfs(int node,int father,int weight){
if(father!=-1){
cnt[node] = Arrays.copyOf(cnt[father],26);
cnt[node][weight-1]++;
}
for (int[] child : e[node]) {
if(child[0]!=father){
cnt_dfs(child[0],node,child[1]);
}
}
}
private void tarjan(int node){
vis[node] = true;
for (int[] child : e[node]) {
if(!vis[child[0]]){
tarjan(child[0]);
// tarjan 回溯指父
fa[child[0]] = node;
}
}
// 离时查询
for (int[] q : qs[node]) {
if(vis[q[0]]){
lca[q[1]] = find(q[0]);
}
}
}
private int find(int x){
if(fa[x]!=x){
fa[x] = find(fa[fa[x]]);
}
return fa[x];
}
private void calAns(int[][] queries){
int sum,max;
for (int index = 0; index < queries.length; index++) {
sum = 0;
max = Integer.MIN_VALUE;
int u = queries[index][0];
int v = queries[index][1];
for(int i=0;i<26;i++){
int freq = cnt[u][i] + cnt[v][i] - 2*cnt[lca[index]][i];
sum += freq;
max = Math.max(freq,max);
}
ans[index] = sum-max;
}
}
}