Lowest Common Ancestor

模板

1. Tarjan

一个讲的很好的视频：D10 Tarjan算法 P3379【模板】最近公共祖先（LCA）_哔哩哔哩_bilibili，董晓算法出品。

Tarjan总体来说可以概括为：

记录访达：记录某个节点是否已经访问过，防环
向下深搜：深搜子节点
回溯指父：低层回溯时将子节点归于当前父节点所在等价类中

离时查询：本层向上回溯时查询与当前节点所有相关的LCA，记录答案

package Tarjan.LCA;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class TarjanLCA {
private List<Integer>[] e;
private List<int[]>[] query;
private int[] fa;
private boolean[] vis;
private int[] ans;

 /**
  * 求LCA
  * @param edge 边集
  * @param queries 查询
  * @param n 总共几个节点
  * @return 查询对应的LCA集合
  */
 public int[] Tarjan(int[][] edge,int[][] queries,int n,int root){
     e = new ArrayList[n];
     Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>());

     query = new ArrayList[n];
     Arrays.setAll(query,e->new ArrayList<>());

     fa = new int[n];
     for (int i = 0; i < fa.length; i++) {
         fa[i] = i;
     }
     vis = new boolean[n];
     Arrays.fill(vis,false);
     ans = new int[queries.length];

     // 邻接表建边
     for (int[] es : edge) {
         e[es[0]].add(es[1]);
         e[es[1]].add(es[0]);
     }

     // tarjan 查询数组
     for (int i = 0; i < queries.length; i++) {
         int[] qs = queries[i];
         query[qs[0]].add(new int[]{qs[1],i});
         query[qs[1]].add(new int[]{qs[0],i});
     }

     dfs(root);
     return ans;
 }

 private void dfs(int node){
     vis[node] = true;

     for (Integer child : e[node]) {
         if(!vis[child]){
             dfs(child);
             fa[child] = node;
         }
     }

     // 向上一层返回时记录LCA
     for (int[] q : query[node]) {
         if(vis[q[0]]){
             ans[q[1]] = find(q[0]);
         }
     }
 }

 private int find(int x){
     if(fa[x]!=x){
         fa[x] = find(fa[fa[x]]);
     }
     return fa[x];
 }

}

这里有几个要注意的地方：

查询数组记得要对称设置，比如查3，4的lca，3要放1个，4也要放1个。因为到底哪个先深搜到是不确定的。比如就放了3的，那如果先深搜到3，发现此时4压根就没指父过（压根没访问到），这个查询对应的答案就没法记录了。所以都放一个绝对可以防止深搜顺序的不确定性。
并查集的路径压缩并不会影响查询结果。因为是回溯时查询，所以绝对是从低层起的，随着逐渐往根处的回溯，并查集中等价类会逐渐向根扩张，并以根为祖宗节点。

这里放一个例子，可以对照代码手玩一下：

     	    0
          /   \
         4     3
        /|\     \
       1 5 6     8
        / \
       2   7

测试用例可自选。

1. LC 2846 边权重均等查询

树的定义是连通无回路的图，所以会有以下性质：

任意两个节点间有且仅有一条通路
任意节点至多有一个父节点

所以要查询任意两个节点之间的最小操作次数，可以唯一地确定答案。因为这两个节点之间存在且仅只存在一条通路。

这个贪心其实很显然，就是对于一条链，让其他权重向频率最大的那个靠近即可。比如这条链上的权重为：

[ 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 ]

很显然答案是把1和3全部变成2，操作次数是3。

那么怎么计算这条链上的操作次数呢？这里定义i→j为从节点i到节点j上的链上各权重出现频次。计算公式为：

op(i->j) = ∑(op(0->i) + op(0->j) - 2*op(0->lca(i,j)))
其中lca表示最近公共祖先

举个例子：

            0
          /   \
         4     3
        /|\     \
       1 5 6     8
        / \
       2   7

假设我们要看6→7这条链，那么可以计算 0→6 + 0→7 - 0→4 - 0→4的各权重出现频次。因为0→4多算了两次那么这个公式是否具有普适性呢？
假设现在要看4→3这条链，可以计算0→4+0→3 - 2* 0→0，也是适用的。

所以思路就是，我们先通过深搜，求出来每个节点到根节点（一颗无向树，谁都可以作为根节点，不妨设为0）0的链上各权重出现频次。然后利用tarjan求出来每组查询的公共祖先，带入上述公式计算即可。

深搜求频次的思路是：由于本层递归比上一层就多了一个上一层节点到本层节点的权重，因此我们可以复制上一层节点（本层节点的父节点）的各权重频次，再在当前权重上增1即可。

而利用性质2，可以简单的记录fa节点判环。但tarjan是不能这样做的，因为需要明确离时查询时另一个节点是否已经访问，并不只是简单的判环功能。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

class Solution {

    List<int[]>[] e;
    List<int[]>[] qs;

    int[][] cnt;

    int[] lca;
    int[] fa;
    boolean[] vis;

    int[] ans;

    public int[] minOperationsQueries(int n, int[][] edges, int[][] queries) {

        e = new ArrayList[n];
        qs = new ArrayList[n];

        Arrays.setAll(e,e->new ArrayList<>());
        Arrays.setAll(qs,e->new ArrayList<>());

        int u,v,w;
        //邻接表
        for (int[] edge : edges) {
            u = edge[0];
            v = edge[1];
            w = edge[2];
            e[u].add(new int[]{v,w});
            e[v].add(new int[]{u,w});
        }

        // tarjan 查询
        for (int i = 0; i < queries.length; i++) {
            int[] q = queries[i];

            qs[q[0]].add(new int[]{q[1],i});
            qs[q[1]].add(new int[]{q[0],i});
        }

        cnt = new int[n][26];
        cnt_dfs(0,-1,0);

        lca = new int[queries.length];
        fa = new int[n];
        for (int i = 0; i < fa.length; i++) {
            fa[i] = i;
        }
        vis = new boolean[n];
        Arrays.fill(vis,false);

        tarjan(0);

        ans = new int[queries.length];
        calAns(queries);
        
        return ans;
    }

    private void cnt_dfs(int node,int father,int weight){
        if(father!=-1){
            cnt[node] = Arrays.copyOf(cnt[father],26);
            cnt[node][weight-1]++;
        }
        for (int[] child : e[node]) {
            if(child[0]!=father){
                cnt_dfs(child[0],node,child[1]);
            }
        }
    }

    private void tarjan(int node){
        vis[node] = true;
        for (int[] child : e[node]) {
            if(!vis[child[0]]){
                tarjan(child[0]);
                // tarjan 回溯指父
                fa[child[0]] = node;
            }
        }

        // 离时查询
        for (int[] q : qs[node]) {
            if(vis[q[0]]){
                lca[q[1]] = find(q[0]);
            }
        }
    }

    private int find(int x){
        if(fa[x]!=x){
            fa[x] = find(fa[fa[x]]);
        }

        return fa[x];
    }

    private void calAns(int[][] queries){
        int sum,max;

        for (int index = 0; index < queries.length; index++) {
            sum = 0;
            max = Integer.MIN_VALUE;

            int u = queries[index][0];
            int v = queries[index][1];

            for(int i=0;i<26;i++){
                int freq = cnt[u][i] + cnt[v][i] - 2*cnt[lca[index]][i];
                sum += freq;
                max = Math.max(freq,max);
            }

            ans[index] = sum-max;
        }
    }

}